Apabila lengkung melintasi paksi-x di dalam had anda, pecahkan selang pada setiap lintasan, amirkan setiap bahagian secara berasingan, dan jumlahkan saiznya. Luas di bawah paksi memberi kamiran negatif, jadi anda mengambil nilai positif setiap bahagian sebelum menjumlahkan.
Ini langkah semula jadi selepas mencari luas antara lengkung dan paksi. Ia juga menyediakan anda untuk jarak yang dilalui berbanding sesaran, yang menggunakan idea yang sama.
Mengapakah kamiran saling hapus?
Kamiran tentu menjumlahkan y × lebar bagi setiap jalur nipis. Di atas paksi, y positif, jadi jalur menambah luas. Di bawah paksi, y negatif, jadi jalur menolak.
Kamiran itu memberi luas bertanda: luas di atas tolak luas di bawah. Jika kedua-duanya sama, jawapannya sifar, walaupun rantau itu tidak kosong.
Cara mencari luas sebenar
- Cari punca. Selesaikan y = 0 untuk melihat tempat lengkung menyentuh paksi.
- Simpan punca dalam selang. Setiap satu ialah titik pemecahan.
- Lakar. Tandakan bahagian mana di atas dan mana di bawah paksi.
- Amirkan setiap bahagian secara berasingan, dengan F(atas) − F(bawah).
- Jadikan setiap bahagian positif. Jawapan negatif hanya bermaksud bahagian itu di bawah paksi, jadi buang tanda tolak.
- Jumlahkan luas positif itu.
Contoh berlangkah
Cari jumlah luas antara y = x² − 4x + 3 dan paksi-x dari x = 0 hingga x = 3.
Langkah 1, punca: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0, jadi x = 1 dan x = 3.
Langkah 2, titik pemecahan: x = 1 terletak dalam selang. Punca satu lagi, x = 3, sudah menjadi had atas.
Langkah 3, lakaran: lengkung terbuka ke atas. Ia di atas paksi untuk x < 1 dan di bawahnya antara x = 1 dan x = 3.
Langkah 4, kamiran: F(x) = x³/3 − 2x² + 3x.
F(0) = 0, F(1) = 1/3 − 2 + 3 = 4/3, F(3) = 9 − 18 + 9 = 0.
Langkah 5, setiap bahagian:
- Dari 0 ke 1: F(1) − F(0) = 4/3. Di atas paksi, jadi luasnya 4/3.
- Dari 1 ke 3: F(3) − F(1) = 0 − 4/3 = −4/3. Di bawah paksi, jadi luasnya 4/3.
Langkah 6, jumlah: 4/3 + 4/3 = 8/3.
Jumlah luas = 8/3 unit persegi.
Semakan: lekuk antara x = 1 dan x = 3 ialah segmen parabola selebar 2 dan sedalam 1, dan dua pertiga segi empat tepat sempadannya ialah (2/3) × 2 × 1 = 4/3. Nilai itu sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah mengamir dari 0 hingga 3 sekali gus.
Jawapan yang salah: F(3) − F(0) = 0 − 0 = 0, jadi luasnya 0.
Nilai positif 4/3 dan negatif 4/3 saling hapus, lalu murid menyimpulkan tiada luas.
Pembetulannya ialah menyemak punca dalam selang sebelum mengamir. Apabila soalan menyebut “luas” dan lengkung melintasi paksi, pecahkan dahulu. Sifar daripada kamiran seluruh selang ialah amaran, bukan jawapan.
Semak sendiri
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari luas yang dikelilingi antara y = x² − 9 dan paksi-x.
Tunjukkan jawapan
Punca: x = −3 dan x = 3. Lengkung di bawah paksi antara kedua-duanya. F(x) = x³/3 − 9x.
F(3) = 9 − 27 = −18 dan F(−3) = −9 + 27 = 18. Kamirannya −18 − 18 = −36.
Luasnya ialah nilai positif: 36 unit persegi.
Semakan: segmen parabola selebar 6 dan sedalam 9 mempunyai luas (2/3) × 6 × 9 = 36.
2. Cari jumlah luas antara y = x² − 2x dan paksi-x dari x = 1 hingga x = 4.
Tunjukkan jawapan
Punca: x = 0 dan x = 2. Hanya x = 2 dalam selang. F(x) = x³/3 − x².
F(1) = −2/3, F(2) = −4/3, F(4) = 64/3 − 16 = 16/3.
Dari 1 ke 2: −4/3 − (−2/3) = −2/3, jadi luasnya 2/3. Dari 2 ke 4: 16/3 + 4/3 = 20/3.
Jumlah = 2/3 + 20/3 = 22/3 unit persegi (7⅓)
3. Tunjukkan bahawa kamiran y = x³ dari −1 hingga 1 ialah sifar, kemudian cari luas sebenar antara lengkung dan paksi-x dalam selang itu.
Tunjukkan jawapan
F(x) = x⁴/4. F(1) = 1/4 dan F(−1) = 1/4, jadi kamirannya 0.
Lengkung melintasi paksi pada x = 0. Dari 0 ke 1 luasnya 1/4. Dari −1 ke 0 nilainya F(0) − F(−1) = −1/4, jadi luasnya 1/4.
Jumlah luas = 1/2 unit persegi
Ke mana selepas ini
Idea pemecahan yang sama digunakan dalam mengira sesaran daripada halaju, apabila “di bawah paksi” bermaksud bergerak ke belakang. Cuba penjelajah struktur kuadratik untuk melihat punca dan lakaran sebelum mengamir, dan gunakan pelatih kerja tanpa kalkulator untuk menyemak pecahan anda.
Murid yang tahu kaedahnya tetapi terlupa langkah punca selalunya memerlukan rutin yang ditulis ke dalam kerja mereka sendiri. Itulah yang dibina oleh guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.