Jika jawapan pertama anda betul tetapi markah masih hilang, masalahnya biasanya ialah mengira selang, bukan menyelesaikan persamaan. Kalkulator memberi satu sudut. Selang dalam soalan mungkin memuatkan dua, empat atau lebih, dan setiap satu perlu dicari.
Laman ini menunjukkan kaedah yang mengekalkan setiap penyelesaian sah dan menerangkan dua tabiat yang menghilangkannya. Ia menyokong persamaan dan graf trigonometri.
Mengapa penyelesaian hilang?
Ada tiga punca lazim:
- Berhenti pada nilai prinsipal. Jawapan kalkulator hanyalah satu daripada penyelesaian.
- Terlupa menukar selang apabila sudutnya 2x, 3x atau x + 30°.
- Membahagi dengan sebutan trigonometri yang boleh menjadi sifar, lalu membuang penyelesaian.
Kaedah yang mengekalkan setiap penyelesaian
- Tulis selang untuk keseluruhan sudut. Jika soalan berkata 0° ≤ x ≤ 360° dan persamaan mengandungi 2x, maka selang untuk 2x ialah 0° ≤ 2x ≤ 720°.
- Cari nilai prinsipal dengan fungsi songsang.
- Cari sudut berkaitan menggunakan lakaran graf atau gambar rajah sukuan.
- Tambah pusingan penuh selagi sudut kekal dalam selang.
- Tukar balik: bahagi dengan 2, atau tolak 30°, untuk mendapat x.
- Semak dengan menggantikan setiap jawapan ke dalam persamaan asal.
Contoh berlangkah
Selesaikan sin 2x = 0.5 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Langkah 1, selang untuk 2x. Darabkan selang dengan 2: 0° ≤ 2x ≤ 720°.
Langkah 2, nilai prinsipal. sin⁻¹(0.5) = 30°.
Langkah 3, sudut berkaitan. Sinus juga positif dalam sukuan kedua: 180° − 30° = 150°.
Langkah 4, tambah pusingan penuh. 30° + 360° = 390°, dan 150° + 360° = 510°. Kedua-duanya di bawah 720°. Pusingan seterusnya memberi 750° dan 870°, yang berada di luar. Jadi 2x = 30°, 150°, 390°, 510°.
Langkah 5, bahagi dua. x = 15°, 75°, 195°, 255°.
Langkah 6, semak. sin 30° = 0.5. sin 150° = 0.5. sin 390° = sin 30° = 0.5. sin 510° = sin 150° = 0.5. Kesemua empat sepadan, jadi x = 15°, 75°, 195°, 255°.
Pelajar yang berhenti pada langkah 2 menulis x = 15°, dan yang melangkau langkah 1 hanya menemui 15° dan 75°. Kedua-duanya kehilangan separuh markah untuk persamaan yang sama.
Perangkap membahagi dengan sin
Cara kedua kehilangan jawapan: selesaikan 2 sin²x = sin x bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Kerja yang salah: bahagi dengan sin x, memberi 2 sin x = 1, jadi sin x = 1/2 dan x = 30°, 150°.
Ini kehilangan x = 0°, 180° dan 360°, kerana sin x = 0 di situ.
Pembetulannya ialah memindahkan semuanya ke satu belah dan memfaktorkan: 2 sin²x − sin x = 0, jadi sin x (2 sin x − 1) = 0. Maka sama ada sin x = 0, memberi x = 0°, 180°, 360°, atau sin x = 1/2, memberi x = 30°, 150°. Terdapat lima penyelesaian kesemuanya: 0°, 30°, 150°, 180°, 360°.
Semak sendiri
1. Selesaikan cos 3x = 0.5 bagi 0° ≤ x ≤ 180°.
Tunjuk jawapan
Selang untuk 3x ialah 0° ≤ 3x ≤ 540°. cos⁻¹(0.5) = 60°. Sudut lain dalam satu pusingan ialah 360° − 60° = 300°. Menambah 360° kepada 60° memberi 420°, yang dibenarkan. Menambah 360° kepada 300° memberi 660°, yang terlalu besar.
Jadi 3x = 60°, 300°, 420°, dan x = 20°, 100°, 140°. Semak: cos 60° = cos 300° = cos 420° = 0.5.
2. Selesaikan sin(x + 30°) = −0.5 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Tunjuk jawapan
Selang untuk x + 30° ialah 30° ≤ x + 30° ≤ 390°. Sinus ialah −0.5 pada 210° dan 330° dalam satu pusingan. Kedua-duanya dalam selang, dan menambah 360° melebihi 390°.
Jadi x + 30° = 210° atau 330°, dan x = 180° atau 300°. Semak: sin 210° = −0.5 dan sin 330° = −0.5.
3. Selesaikan tan x = 1 bagi 0° ≤ x ≤ 360°. Terangkan dalam satu ayat mengapa ada dua jawapan.
Tunjuk jawapan
tan⁻¹(1) = 45°, dan tangen berulang setiap 180°, jadi penyelesaian seterusnya ialah 225°. Jawapannya ialah x = 45° dan x = 225°. Yang kedua berada dalam sukuan ketiga, di mana tangen positif semula.
Apa yang boleh anda buat seterusnya?
Gunakan papan penaakulan segi tiga dan bearing, yang meminta hubungan sebelum sebarang pengiraan dan menunjukkan unit sudut, untuk membina tabiat menyatakan selang dahulu. Pelatih kerja tanpa kalkulator menyokong nilai tepat seperti sin 30° = 1/2.
Kemudian uji diri anda dengan hab latihan asal. Jika anda asyik kurang satu jawapan walaupun anda tahu kaedahnya, tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu membolehkan guru melihat langkah di mana penyelesaian yang hilang itu terlepas.