Untuk mencari nilai k bagi garis yang bertemu lengkung sebilangan kali tertentu, gantikan, cari pembeza nyata kuadratik yang terhasil, dan tetapkan lebih besar daripada, sama dengan atau kurang daripada sifar. Lebih besar daripada sifar memberi dua persilangan, sama dengan sifar memberi satu (tangen) dan kurang daripada sifar memberi tiada.
Pelajaran ini menyusuli mentafsir penyelesaian berulang secara geometri dan menutup jujukan pelajaran model serentak linear dan bukan linear. Pembeza nyata diulang kaji dalam struktur kuadratik dan pembeza nyata.
Apa yang berubah apabila garis mengandungi k?
Kaedahnya tidak berubah, tetapi pekali kini mengandungi k, jadi pembeza nyata menjadi ungkapan dalam k dan bukan nombor. Ketaksamaan itu kemudian diselesaikan seperti ketaksamaan kuadratik dalam k.
Oleh sebab pekali kuadratik bergantung pada k, kembangkan kurungan sepenuhnya sebelum mencari b² − 4ac. Kebanyakan kesilapan di sini datang daripada sebutan tengah.
Bagaimana melakukannya, langkah demi langkah?
- Gantikan garis ke dalam lengkung.
- Kembangkan dan kumpulkan kepada ax² + bx + c = 0, dengan a, b dan c mungkin mengandungi k.
- Tulis b² − 4ac dalam sebutan k dan permudahkan.
- Gunakan syarat: > 0 untuk dua titik, = 0 untuk satu, < 0 untuk tiada.
- Selesaikan untuk k dan nyatakan selang atau nilainya.
- Uji satu nilai k untuk mengesahkan hasilnya.
Contoh berlangkah
Garis y = x + k dan bulatan x² + y² = 8. Cari nilai k bagi garis bertemu bulatan pada dua titik berbeza, pada satu titik, dan pada tiada titik.
Gantikan: x² + (x + k)² = 8.
Kembangkan dan kumpulkan: x² + x² + 2kx + k² = 8, maka 2x² + 2kx + (k² − 8) = 0.
Pembeza nyata: a = 2, b = 2k, c = k² − 8.
b² − 4ac = 4k² − 8(k² − 8) = 4k² − 8k² + 64 = 64 − 4k² = 4(16 − k²).
Syarat:
| Kes | Syarat | Nilai k |
|---|---|---|
| dua titik | 16 − k² > 0 | −4 < k < 4 |
| satu titik | 16 − k² = 0 | k = 4 atau k = −4 |
| tiada titik | 16 − k² < 0 | k < −4 atau k > 4 |
Semak dengan jarak: garis x − y + k = 0 berjarak |k|/√2 dari asalan. Jejari ialah √8 = 2√2. Bersentuhan memerlukan |k|/√2 = 2√2, maka |k| = 4, yang sepadan. Bagi k = 2, jaraknya √2, kurang daripada 2√2, jadi dua titik. Bagi k = 5, jaraknya kira-kira 3.54, lebih daripada 2.83, jadi tiada titik.
Kes k = 4 ialah tangen y = x + 4 yang ditemui dalam pelajaran sebelumnya, apabila titik sentuhannya (−2, 2).
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan kerap ialah menyelesaikan ketaksamaan seolah-olah ia linear.
Kerja yang salah: 16 − k² > 0, maka k² < 16, maka k < 4.
Pelajar hanya mengambil punca kuasa dua positif dan menggugurkan sempadan bawah.
Ujilah: k = −10 memuaskan k < 4, tetapi garis y = x − 10 jauh daripada bulatan, kerana 10/√2 kira-kira 7.07, jauh lebih besar daripada 2.83. Pembetulannya ialah ingat bahawa k² < 16 bermaksud selang antara −4 dan 4. Bagi tiada persilangan, k² > 16 memberi dua bahagian berasingan, k < −4 atau k > 4, dan bukan satu.
Semak sendiri
Kerjakan soalan ini pada kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari nilai c bagi y = 2x + c bertemu y = x² pada dua titik berbeza.
Lihat jawapan
Samakan x² = 2x + c, maka x² − 2x − c = 0. Pembeza nyata ialah 4 + 4c. Bagi dua titik, 4 + 4c > 0, maka c > −1.
Semak pada c = −1: x² − 2x + 1 = 0 memberi (x − 1)² = 0, tangen pada (1, 1).
2. Garis y = x + k menyentuh bulatan x² + y² = 2. Cari k.
Lihat jawapan
x² + (x + k)² = 2 memberi 2x² + 2kx + k² − 2 = 0. Pembeza nyata ialah 4k² − 8(k² − 2) = 16 − 4k². Menetapkannya kepada sifar memberi k² = 4.
k = 2 atau k = −2. Semak dengan jarak: |k|/√2 = √2 memberi |k| = 2.
3. Cari nilai c bagi y = 2x + c tidak bertemu x² + y² = 5.
Lihat jawapan
x² + (2x + c)² = 5 memberi 5x² + 4cx + c² − 5 = 0. Pembeza nyata ialah 16c² − 20(c² − 5) = 100 − 4c². Bagi tiada persilangan ia mesti negatif, maka c² > 25.
c < −5 atau c > 5. Semak c = 6: jarak dari asalan ialah 6/√5 ≈ 2.68, lebih daripada √5 ≈ 2.24.
Ke mana selepas ini?
Selepas pelajaran ini, cuba set latihan campuran untuk soalan yang menggabungkan kesemua lima pelajaran. Penjelajah persilangan garis dan bulatan membolehkan anda melihat kedudukan tangen apabila k berubah, dan pelatih kerja tanpa kalkulator menyokong pemudahan tepat bagi ungkapan seperti 4(16 − k²).
Jika langkah ketaksamaan dengan pemalar tidak diketahui terus menelan markah anda, guru kami boleh membinanya semula bersama anda dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.