要求 k 取什么值时，直线与曲线相交指定的次数，先代入，求出所得二次方程的判别式，再令它大于、等于或小于零。大于零有两个交点，等于零有一个（相切），小于零则没有交点。
本课接在从几何角度理解重根之后，是线性与非线性联立模型课程序列的最后一课。判别式可在二次结构与判别式中复习。
直线含 k 时，什么变了？
方法没有变，但系数现在含有 k，所以判别式不再是一个数，而是关于 k 的表达式。然后像解任何二次不等式一样解这个关于 k 的不等式。
因为二次方程的系数依赖 k，求 b² − 4ac 之前要把括号完整展开。这里的大部分错误都出在中间项。
具体怎么做？
- 把直线代入曲线。
- 展开并合并成 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 可能含有 k。
- 写出 b² − 4ac，用 k 表示并化简。
- 套用条件： 两个交点取 > 0，一个取 = 0，没有取 < 0。
- 解出 k，写出区间或具体的值。
- 取一个 k 值检验结果。
例题详解
直线 y = x + k 与圆 x² + y² = 8。求 k 取何值时，直线与圆交于两个不同的点、一个点、没有交点。
代入： x² + (x + k)² = 8。
展开并合并： x² + x² + 2kx + k² = 8，所以 2x² + 2kx + (k² − 8) = 0。
判别式： a = 2，b = 2k，c = k² − 8。
b² − 4ac = 4k² − 8(k² − 8) = 4k² − 8k² + 64 = 64 − 4k² = 4(16 − k²)。
各种情况：
| 情况 | 条件 | k 的取值 |
|---|---|---|
| 两个点 | 16 − k² > 0 | −4 < k < 4 |
| 一个点 | 16 − k² = 0 | k = 4 或 k = −4 |
| 没有交点 | 16 − k² < 0 | k < −4 或 k > 4 |
用距离检验： 直线 x − y + k = 0 到原点的距离是 |k|/√2。圆的半径是 √8 = 2√2。相切要求 |k|/√2 = 2√2，所以 |k| = 4，与上表一致。当 k = 2 时，距离是 √2，小于 2√2，所以有两个点。当 k = 5 时，距离约为 3.54，大于 2.83，所以没有交点。
k = 4 的情形，就是上一课遇到的切线 y = x + 4，切点是 (−2, 2)。
要小心的错误
常见的失误，是把不等式当成线性不等式来解。
错误写法： 16 − k² > 0，所以 k² < 16，所以 k < 4。
学生只取了正的平方根，丢掉了下界。
试一试：k = −10 满足 k < 4，但直线 y = x − 10 离圆很远，因为 10/√2 约为 7.07，远大于 2.83。更正的办法，是记住 k² < 16 表示 −4 与 4 之间的区间。至于没有交点，k² > 16 给出两段分开的范围：k < −4 或 k > 4，而不是一段。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 求 c 的取值范围，使 y = 2x + c 与 y = x² 交于两个不同的点。
查看答案
令 x² = 2x + c，得 x² − 2x − c = 0。判别式为 4 + 4c。有两个交点需要 4 + 4c > 0，所以 c > −1。
在 c = −1 时检验：x² − 2x + 1 = 0 得 (x − 1)² = 0，在 (1, 1) 处相切。
2. 直线 y = x + k 与圆 x² + y² = 2 相切。求 k。
查看答案
x² + (x + k)² = 2 得 2x² + 2kx + k² − 2 = 0。判别式为 4k² − 8(k² − 2) = 16 − 4k²。令它等于零，得 k² = 4。
k = 2 或 k = −2。 用距离检验：|k|/√2 = √2，得 |k| = 2。
3. 求 c 的取值范围，使 y = 2x + c 与 x² + y² = 5 不相交。
查看答案
x² + (2x + c)² = 5 得 5x² + 4cx + c² − 5 = 0。判别式为 16c² − 20(c² − 5) = 100 − 4c²。不相交要求它为负数，所以 c² > 25。
c < −5 或 c > 5。 检验 c = 6：到原点的距离是 6/√5 ≈ 2.68，大于 √5 ≈ 2.24。
接下来学什么？
学完本课后，可以做综合练习，里面的题目综合了全部五课。直线与圆交点探索器让你看到 k 变化时切线的位置，无计算器解题训练器则支持 4(16 − k²) 这类表达式的精确化简。
如果含未知常数的不等式一直让你丢分，我们的老师可以在线上一对一 Additional Mathematics 补习中和你一起重建这一步。