Apabila persamaan trigonometri mempunyai sesuatu seperti 2x − 30° di dalam fungsi, gantikan ungkapan itu dengan satu huruf, selesaikan untuk huruf baharu pada selang barunya, kemudian tukar semula kepada x. Ini muncul dalam soalan dengan sin 2x, kos 3x, tan(x + 45°) dan dalam kuadratik dalam sin x atau kos x.
Kaedah ini memanjangkan rutin sudut asas dan sukuan dan menggunakan idea tempoh daripada menjejak anjakan fasa dan tempoh.
Apa yang berubah apabila anda menggantikan?
Tulis u = 2x − 30° (atau apa sahaja kurungannya). Dua perkara berikut.
- Selang bagi u berbeza. Ubah hujung selang x dengan peraturan yang sama, jadi 0° ≤ x ≤ 360° menjadi −30° ≤ u ≤ 690°.
- Anda menyelesaikan untuk u, kemudian menukar. Cari semua u dalam selang baharu menggunakan kaedah sudut asas, kemudian gunakan x = (u + 30°)/2.
Selang yang dilebarkan itulah yang mengekalkan penyelesaian tambahan. Pengganda 2 menggandakan bilangan kitaran, jadi anda menjangka kira-kira dua kali ganda jawapan.
Bagi kuadratik seperti 2 sin²x − sin x − 1 = 0, penggantiannya ialah s = sin x. Selesaikan kuadratik dalam s, kemudian selesaikan setiap nilai sin x = s pada selang. Buang mana-mana s di luar −1 hingga 1.
Contoh berlangkah
Selesaikan sin(2x − 30°) = 0.5 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Langkah 1, gantikan: biar u = 2x − 30°. Maka x daripada 0° hingga 360° memberi u daripada −30° hingga 690°.
Langkah 2, selesaikan untuk u: sin u = 0.5 mempunyai sudut asas 30°, dalam sukuan 1 dan 2: u = 30° dan 150°. Tambah 360° untuk kitaran seterusnya: u = 390° dan 510°. Yang berikutnya, 750° dan 870°, melebihi 690°, jadi berhenti. Ke arah bawah, u = −210° dan −330° berada di bawah −30°, jadi ia tersingkir.
Langkah 3, tukar semula: x = (u + 30°)/2.
- u = 30° memberi x = 30°
- u = 150° memberi x = 90°
- u = 390° memberi x = 210°
- u = 510° memberi x = 270°
Jawapan: x = 30°, 90°, 210°, 270°.
Semakan: sin(2 × 210° − 30°) = sin 390° = sin 30° = 0.5. Juga sin(2 × 270° − 30°) = sin 510° = sin 150° = 0.5. Dua kitaran penuh sin memberi empat penyelesaian, dan ini sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menyelesaikan untuk u hanya antara 0° dan 360°.
Jawapan yang salah: x = 30° dan 90°
Pelajar hanya menggunakan u = 30° dan 150°, kerana itulah penyelesaian sin dalam julat biasa 0° hingga 360°. Sudut yang digandakan bermakna selang bagi u sampai ke 690°, jadi penyelesaian pada 390° dan 510° terlangkau.
Pembetulannya ialah menulis selang baharu bagi u sebelum melakukan apa-apa lagi, dan menyenaraikan penyelesaian sehingga melepasi hujung atasnya. Baris ringkas seperti “−30° ≤ u ≤ 690°” pada permulaan kerja anda ialah tabiat yang baik.
Semak diri anda
1. Selesaikan kos 3x = −0.5 bagi 0° ≤ x ≤ 180°.
Lihat jawapan
Biar u = 3x, jadi 0° ≤ u ≤ 540°. kos u = −0.5: sudut asas 60°, kos negatif dalam sukuan 2 dan 3: u = 120° dan 240°. Kitaran seterusnya: 480°, dan 600° terlalu besar. Kemudian x = u/3.
x = 40°, 80°, 160°
2. Selesaikan tan(x + 45°) = 1 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Lihat jawapan
Biar u = x + 45°, jadi 45° ≤ u ≤ 405°. tan u = 1 pada u = 45°, 225° dan 405°. Tolak 45°.
x = 0°, 180°, 360°
3. Selesaikan 2 sin²x − sin x − 1 = 0 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Lihat jawapan
Biar s = sin x: 2s² − s − 1 = 0, yang boleh difaktorkan sebagai (2s + 1)(s − 1) = 0, jadi s = −1/2 atau s = 1. Bagi sin x = 1, x = 90°. Bagi sin x = −1/2, sudut asasnya 30° dalam sukuan 3 dan 4: x = 210° dan 330°.
x = 90°, 210°, 330°
Langkah seterusnya
Seterusnya, gunakan lakaran untuk mengesan penyelesaian yang tertinggal dan sahkan kiraan anda sebelum menghantar. Penjelajah struktur kuadratik berguna untuk langkah kuadratik dalam sin, kerana diskriminan dan punca kuadratik dalam s menentukan berapa nilai sin x yang mesti anda selesaikan. Latihan pengiraan tanpa kalkulator memastikan nilai tepat sentiasa sedia.
Jika anda kerap sampai pada kaedah yang betul tetapi kehilangan penyelesaian pada langkah penukaran, guru kami boleh menjejaki di mana dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.