当三角方程的函数里面是 2x − 30° 这样的式子，就用一个字母代替它，在新的区间内解这个新字母，再换回 x。这常见于含 sin 2x、cos 3x、tan(x + 45°) 的题目，以及关于 sin x 或 cos x 的二次方程。
这个方法延伸自基本角与象限的做法，并用到追踪相位移与周期中的周期概念。
代换后有什么改变？
令 u = 2x − 30°（或括号里的任何式子）。随之有两件事：
- u 的区间不同。 用同一条规则转换 x 区间的两端，所以 0° ≤ x ≤ 360° 变成 −30° ≤ u ≤ 690°。
- 先解 u，再换回。 用基本角方法找出新区间内所有 u，再用 x = (u + 30°)/2。
被扩大的区间让额外的解得以保留。乘数 2 使周期数加倍，所以答案大约也是原来的两倍。
对于 2 sin²x − sin x − 1 = 0 这类二次方程，代换是 s = sin x。先解关于 s 的二次方程，再在区间内解每个 sin x = s。凡是 s 不在 −1 到 1 之间的都要舍去。
例题详解
解 sin(2x − 30°) = 0.5，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
第一步，代换： 令 u = 2x − 30°。x 从 0° 到 360°，则 u 从 −30° 到 690°。
第二步，解 u： sin u = 0.5 的基本角是 30°，在第 1、2 象限：u = 30° 和 150°。加 360° 得下一个周期：u = 390° 和 510°。再下一组 750° 和 870° 超过 690°，所以停止。往下看，u = −210° 和 −330° 低于 −30°，都不在范围内。
第三步，换回： x = (u + 30°)/2。
- u = 30° 得 x = 30°
- u = 150° 得 x = 90°
- u = 390° 得 x = 210°
- u = 510° 得 x = 270°
答案： x = 30°、90°、210°、270°。
检查： sin(2 × 210° − 30°) = sin 390° = sin 30° = 0.5。又 sin(2 × 270° − 30°) = sin 510° = sin 150° = 0.5。两个完整的正弦周期有四个解，数量吻合。
要留意的错误
常见的失误是只在 0° 到 360° 之间解 u。
错误答案： x = 30° 和 90°
学生只用了 u = 30° 和 150°，因为这是常规 0° 到 360° 范围内的正弦解。角度加倍意味着 u 的区间延伸到 690°，所以 390° 和 510° 处的解被漏掉了。
改正的方法是先写出 u 的新区间再做其他事，并一直列出解直到超过区间上限。在演算开头写一行”−30° ≤ u ≤ 690°“是个好习惯。
自我检测
1. 解 cos 3x = −0.5，范围 0° ≤ x ≤ 180°。
查看答案
令 u = 3x，则 0° ≤ u ≤ 540°。cos u = −0.5：基本角 60°，余弦为负在第 2、3 象限：u = 120° 和 240°。下一个周期：480°，600° 太大。然后 x = u/3。
x = 40°、80°、160°
2. 解 tan(x + 45°) = 1，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
令 u = x + 45°，则 45° ≤ u ≤ 405°。tan u = 1 在 u = 45°、225°、405°。各减 45°。
x = 0°、180°、360°
3. 解 2 sin²x − sin x − 1 = 0，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
令 s = sin x：2s² − s − 1 = 0，因式分解为 (2s + 1)(s − 1) = 0，所以 s = −1/2 或 s = 1。sin x = 1 时，x = 90°。sin x = −1/2 时，基本角 30°，在第 3、4 象限：x = 210° 和 330°。
x = 90°、210°、330°
下一步
接下来用草图发现遗漏的解，在交卷前确认解的个数。二次函数结构探索器适合用在 sin 的二次方程这一步，因为关于 s 的二次方程的判别式和根，决定了你要解几个 sin x 的值。无计算器运算训练帮你保持精确值的熟练。
如果你经常方法正确却在换回那一步漏解，我们的老师可以在附加数学线上一对一补习中找出问题出在哪里。