反复练习，是让已经正确的方法变得熟练；针对性反馈，是修正含有错误的方法。 如果你重复的是一个错误，你只会越来越擅长这个错误。
判断你需要哪一个，只需要两分钟的测试，见下文。本页接着带上反复出现的困难的证据去试听。
什么时候反复练习是对的工具？
当你的错误分散时，反复练习有帮助：这里一个符号，那里一个算术失误，没有哪一种出现两次。当你做对了但速度慢，比如在时间压力下回忆乘法表或公式，也有帮助。
信号是你的错误各有不同的原因。多练习通过增加熟悉度来减少随机失误。
什么时候针对性反馈是对的工具？
当同一个错误一再回来时，反馈有帮助。信号是原因重复出现：同一步在不同题目上失败，或同一个错误答案在订正后又出现。
针对性反馈，就是有人或有办法告诉你哪一步错了、为什么错，让你改变方法，而不仅仅是增加尝试次数。
例子：展开平方括号
一位女生练习展开括号（expanding brackets）。她做了 20 题，其中 4 题是 (x − a)² 的形式。这四题全错，另外十六题全对。
她其中一题的解法：(x − 3)² = x² − 9。
测试： 20 题错 4 题是 20%。这四个错误是分散的还是重复的？四题都是同一种模式：她把每一项各自平方，丢掉了中间项。这是重复的原因。
如果她再做 20 道类似的题，这四种题型很可能还是丢分。修正的办法是一次针对性检查。
用代入法取得反馈： 取 x = 5。左边是 (5 − 3)² = 2² = 4。她的答案给出 5² − 9 = 16。两条路线不一致，所以展开是错的。
正确的方法： (x − 3)² 的意思是 (x − 3)(x − 3)。
x² − 3x − 3x + 9 = x² − 6x + 9
用 x = 5 检查：25 − 30 + 9 = 4 ✓。
现在重复练习就值得了：再做五道平方括号，每道都用代入法检查，让正确的方法变成自动反应。
要避免的错误
常见的是把大量练习当作努力的证据，把努力当作进步的证据。四十道题感觉很有成效，但如果后二十题重复了前二十题的错误，多花的时间什么也没改变。
改正方法是：任何一个你遇到三次的错误，就停下来。挑其中一题，用另一条路线检查，你就用反馈取代了重复。
两分钟测试
- 选出这个课题中你最近做错的五道题。
- 用几个字写下每题错误的原因。
- 如果有三个或更多共享原因，你需要反馈。如果五个都不同，继续练习。
- 如果你完全说不出原因，这本身也是需要反馈的理由。
自我检查
1. 一位学生展开 (x + 4)² 时写成 x² + 16。用 x = 1 说明这个答案是错的，并写出正确的展开。
显示答案
左边：(1 + 4)² = 25。学生的答案：1 + 16 = 17，不一致。正确：(x + 4)(x + 4) = x² + 4x + 4x + 16 = x² + 8x + 16。检查：1 + 8 + 16 = 25 ✓。
2. 一位学生做了 30 题，错了 6 题，原因各不相同。错题占多少？应该继续练习还是找反馈？
显示答案
6 ÷ 30 = 20%。原因各不相同，说明错误是分散的，带着检查的多练习是合理的。如果某个原因开始重复，再找反馈。
3. 为什么犯错后原封不动地重做同一道题，可能会让错误更牢固？
显示答案
每次重复都是对同样步骤的又一次演练。方法没有改变，错误的路线就会变得更熟悉、更自动。
接下来
试听后回顾指南可以帮你判断自己从课堂反馈中学到了什么，试听课之后规划进一步补习则讨论如何考虑下一步。
如果你能用代入法找出反复出现的错误并自己改正，自学可能就够了。如果你不明白某个错误为什么一直回来，线上一对一数学补习可以围绕你自己的一道题展开，试听课如何运作在单独的页面里有说明。