Kembangan binomial (binomial expansion) ialah kemahiran mendarab kurungan dua sebutan seperti (2x + 3)⁴ tanpa menulis kurungan itu empat kali. Pendaraban yang panjang bertukar menjadi satu corak: pekali binomial, kuasa sebutan pertama yang menurun dan kuasa sebutan kedua yang menaik.
Topik ini berada dalam bahagian algebra Matematik Tambahan. Semak sukatan pelajaran 0606 semasa di laman Cambridge untuk mengetahui dengan tepat apa yang diperlukan dalam tahun peperiksaan anda, termasuk bentuk kembangan yang dijangka.
Apakah yang perlu anda kuasai dahulu?
Anda perlu tiga perkara.
Kurungan dan hukum indeks, supaya (2x)³ menjadi 8x³ dan bukan 2x³. Nombor negatif, supaya (−3)² ialah 9 dan (−3)³ ialah −27. Serta pengertian pekali (coefficient), iaitu nombor di hadapan suatu kuasa x.
Jika mana-mana daripadanya masih goyah, baiki dahulu. Hampir setiap markah yang hilang dalam topik ini berpunca daripada salah satu daripada tiga perkara ini, bukan daripada idea binomial itu sendiri.
Satu contoh permulaan
Kembangkan (x + 2)³.
Pekali bagi kuasa 3 ialah 1, 3, 3, 1. Kuasa x menurun dari 3 ke 0 manakala kuasa 2 menaik dari 0 ke 3.
(x + 2)³ = 1·x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 1·2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
Semak dengan x = 1: sebelah kiri ialah 3³ = 27, dan sebelah kanan ialah 1 + 6 + 12 + 8 = 27. Setiap pelajaran seterusnya dibina atas corak yang sama dan tabiat menyemak yang sama.
Dalam susunan apakah pelajaran ini dipelajari?
- Kembangkan kuasa integer positif secara sistematik: pekali, kuasa yang menurun dan menaik, serta susun atur yang mengekalkan setiap sebutan di tempatnya.
- Cari sebutan tertentu tanpa menulis semua sebutan: sebutan am (general term), supaya soalan tentang x⁵ dalam kuasa 9 tidak memerlukan sepuluh baris penyelesaian.
- Bandingkan pekali untuk menentukan pemalar: cara mencari k yang tidak diketahui dengan membentuk persamaan daripada satu pekali.
- Jejaki tanda dalam kembangan berselang-seli: mengapa (2x − 3)ⁿ berselang-seli, dan cara menghalang kesilapan tanda merebak ke seluruh jawapan.
- Semak kembangan dengan penggantian mudah: menggunakan x = 1, x = −1 dan x = 0 untuk mengesan kesilapan sebelum kertas dihantar.
Kemudian selesaikan set latihan kembangan binomial yang mencampurkan kelima-lima kemahiran.
Perangkap apakah yang paling kerap menjerat?
- Lupa menaikkan pekali kepada kuasa. (2x)³ ialah 8x³. Menulis 2x³ ialah kesilapan paling lazim dalam seluruh topik ini.
- Tersalah letak sebutan. Sebutan dalam x⁴ tidak semestinya sebutan keempat. Bekerja daripada kuasa, bukan daripada bilangan.
- Kehilangan tanda negatif. Dalam (x − 3)ⁿ sebutan kedua ialah −3, jadi kuasa ganjilnya negatif dan kuasa genapnya positif.
- Menggunakan baris pekali yang salah. Baris untuk kuasa n mempunyai n + 1 nombor, dan jumlahnya ialah 2ⁿ.
- Melangkau semakan. Penggantian selama tiga puluh saat mengesan kebanyakan kesilapan di atas.
Bagaimanakah set latihan patut digunakan?
Cuba setiap soalan di atas kertas sebelum membuka jawapan. Pada mulanya, tulis pekali, kuasa setiap bahagian dan tanda pada baris yang berasingan, kemudian ringkaskan susun atur anda setelah tepat.
Apabila sesuatu soalan tersilap, catat perangkap mana yang berlaku. Log kesilapan dan baris gilir ulang uji ialah cara mudah untuk menyimpan rekod itu dan mengulang kemahiran yang sama beberapa hari kemudian.
Bagi pelajar yang mengikuti setiap contoh di dalam kelas tetapi tersangkut pada soalan binomial yang asing, guru kami membantu merapatkan jurang itu dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.