Set ini mencampurkan setiap kemahiran daripada kembangan binomial: kembangan penuh, sebutan tunggal, pemalar yang tidak diketahui, bahagian negatif dan semakan penggantian. Soalannya asli dan disusun daripada yang lebih mudah kepada yang lebih sukar.
Tulis penyelesaian anda di atas kertas sebelum membuka setiap jawapan. Kekalkan setiap bahagian sebutan dalam kurungan sehingga diringkaskan, dan semak setiap kembangan dengan x = 1 apabila boleh. Latihan pengiraan tanpa kalkulator berguna untuk aritmetik tepat.
Soalan dan jawapan berlangkah
1. Kembangkan (x + 1)⁴.
Lihat jawapan
Pekali 1, 4, 6, 4, 1, dan setiap kuasa 1 ialah 1.
x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
Semak pada x = 1: 2⁴ = 16, dan 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.
2. Tulis baris pekali binomial bagi kuasa 7 dan semak jumlahnya.
Lihat jawapan
Setiap nombor ialah hasil tambah dua nombor di atasnya dalam segi tiga Pascal, bermula daripada baris kuasa 6 iaitu 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
Jumlahnya ialah 128 = 2⁷.
3. Kembangkan (2x + 1)⁴.
Lihat jawapan
Pekali 1, 4, 6, 4, 1. Sebutan: (2x)⁴ = 16x⁴; 4 × (2x)³ = 4 × 8x³ = 32x³; 6 × (2x)² = 6 × 4x² = 24x²; 4 × 2x = 8x; 1.
16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1
Semak pada x = 1: 3⁴ = 81, dan 16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81.
4. Kembangkan (x − 3)³.
Lihat jawapan
Pekali 1, 3, 3, 1 dan kuasa bertanda bagi −3: 1, −3, 9, −27. Sebutan: x³; 3 × x² × (−3) = −9x²; 3 × x × 9 = 27x; −27.
x³ − 9x² + 27x − 27
Semak pada x = 1: (−2)³ = −8, dan 1 − 9 + 27 − 27 = −8.
5. Cari pekali x³ dalam kembangan (1 + 2x)⁷.
Lihat jawapan
Sebutan am: 7Cr × (2x)ʳ. Bagi x³, r = 3. Jadi 7C3 × 2³ = 35 × 8 = 280.
6. Cari pekali x³ dalam kembangan (2 − x)⁵.
Lihat jawapan
Sebutan am: 5Cr × 2⁵⁻ʳ × (−x)ʳ. Bagi x³, r = 3. Jadi 5C3 × 2² × (−1)³ = 10 × 4 × (−1) = −40.
7. Cari tiga sebutan pertama, dalam kuasa x yang menaik, bagi (1 + 3x)⁸. Gunakannya untuk menganggar 1.003⁸ betul kepada 3 tempat perpuluhan.
Lihat jawapan
Sebutan: 1; 8C1 × 3x = 24x; 8C2 × (3x)² = 28 × 9x² = 252x². Jadi tiga sebutan pertama ialah 1 + 24x + 252x².
Gantikan x = 0.001: 1 + 0.024 + 0.000252 = 1.024252. Betul kepada 3 tempat perpuluhan, 1.003⁸ ≈ 1.024. Sebutan yang ditinggalkan sangat kecil, jadi anggaran ini mantap.
8. Pekali x² dalam (1 + kx)⁶ ialah 135, dan k > 0. Cari k.
Lihat jawapan
6C2 × k² = 15k² = 135, jadi k² = 9. Oleh sebab k > 0, k = 3.
9. Cari sebutan yang tidak bergantung pada x (term independent of x) dalam kembangan (x + 2/x)⁶.
Lihat jawapan
Sebutan am: 6Cr × x⁶⁻ʳ × (2/x)ʳ = 6Cr × 2ʳ × x⁶⁻²ʳ. Kuasa x ialah 0 apabila 6 − 2r = 0, jadi r = 3. Maka 6C3 × 2³ = 20 × 8 = 160.
10. Cari pekali x³ dalam kembangan (2x − 3)⁵.
Lihat jawapan
Sebutan am: 5Cr × (2x)⁵⁻ʳ × (−3)ʳ. Bagi x³, 5 − r = 3, jadi r = 2. Maka 5C2 × (2x)³ × (−3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Pekalinya ialah 720. Tandanya positif kerana r genap.
11. Dalam kembangan (1 + ax)⁷, pekali x² dan x³ adalah sama dan a ≠ 0. Cari a.
Lihat jawapan
Pekali x²: 7C2 a² = 21a². Pekali x³: 7C3 a³ = 35a³. Menyamakan keduanya: 35a³ − 21a² = 0, jadi 7a²(5a − 3) = 0. Oleh sebab a ≠ 0, a = 3/5.
Semak: 21 × 9/25 = 189/25, dan 35 × 27/125 = 945/125 = 189/25.
12. Seorang pelajar menulis (x − 2)⁴ = x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x − 16. Gunakan x = 0 dan x = 1 untuk menunjukkan ia salah, kemudian betulkannya.
Lihat jawapan
Pada x = 0 kurungan memberi (−2)⁴ = 16, tetapi sebutan malar pelajar ialah −16. Pada x = 1 kurungan memberi (−1)⁴ = 1, tetapi sebutan pelajar memberi 1 − 8 + 24 − 32 − 16 = −31. Kedua-dua semakan gagal.
Sebutan terakhir sepatutnya (−2)⁴ = +16, kerana kuasa genap bagi nombor negatif adalah positif. Kembangan yang dibetulkan ialah x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16. Pada x = 1: 1 − 8 + 24 − 32 + 16 = 1, yang sepadan.
Jika anda tersilap
- Pekali kuasa x yang salah, seperti 2x³ dan bukan 8x³ (soalan 3, 5, 10): ulang kaji mengembangkan kuasa integer positif.
- Sebutan atau r yang salah (soalan 5, 9, 10): ulang kaji mencari sebutan tertentu.
- Tidak dapat membentuk persamaan bagi k atau a (soalan 8, 11): ulang kaji membandingkan pekali untuk menentukan pemalar.
- Kesilapan tanda (soalan 4, 6, 10, 12): ulang kaji menjejak tanda dalam kembangan berselang-seli.
- Tiada semakan, atau semakan gagal tanpa anda tahu sebabnya (soalan 1, 3, 12): ulang kaji menyemak kembangan dengan penggantian mudah.
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dan baris gilir ulang uji dan cuba soalan yang serupa beberapa hari kemudian. Untuk pandangan yang lebih luas tentang topik ini, kembali ke gambaran keseluruhan modul.
Jika kesilapan yang sama berulang walaupun selepas ulang kaji, guru kami boleh melihatnya bersama anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.