Set ini mempunyai dua belas soalan asli, disusun daripada yang lebih mudah kepada yang lebih sukar, merangkumi kelima-lima pelajaran dalam fungsi dan sekatan. Soalan 1 hingga 3 ialah pemanasan tentang domain, 4 dan 5 ialah julat, 6 dan 7 ialah fungsi gubahan, 8 dan 9 ialah fungsi songsang, dan 10 hingga 12 mencampurkan kemahiran.
Cuba setiap soalan di atas kertas dan tulis setiap sekatan sebagai barisnya sendiri, seperti dalam peperiksaan. Barulah buka jawapan. Tandakan yang salah dan gunakan senarai penghalaan di hujung.
Penjelajah gubahan dan songsang fungsi berguna untuk menyemak jawapan selepas anda mencuba secara manual.
Soalan
1. Nyatakan domain terbesar bagi f(x) = 4/(x − 5).
Tunjuk jawapan
Penyebut ialah sifar apabila x − 5 = 0, jadi x = 5.
Domain: semua x nyata dengan x ≠ 5.
2. Nyatakan domain terbesar bagi g(x) = (x + 2)/(x² − 9).
Tunjuk jawapan
x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 memberi x = 3 atau x = −3. Pengangka diabaikan.
Domain: semua x nyata dengan x ≠ 3 dan x ≠ −3.
3. Nyatakan domain terbesar bagi h(x) = 2x/(x² + x − 12).
Tunjuk jawapan
x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3) = 0 memberi x = −4 atau x = 3. Semak: 16 − 4 − 12 = 0 dan 9 + 3 − 12 = 0.
Domain: semua x nyata dengan x ≠ −4 dan x ≠ 3.
4. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 3x − 2 untuk −1 ≤ x ≤ 4. Cari julat f.
Tunjuk jawapan
f ialah garis lurus yang menokok, jadi titik hujung memberi nilai ekstrem. f(−1) = −3 − 2 = −5 dan f(4) = 12 − 2 = 10.
Julat: −5 ≤ f(x) ≤ 10.
5. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x² − 6x + 2 untuk 0 ≤ x ≤ 5. Cari julat f.
Tunjuk jawapan
Lengkapkan kuasa dua: f(x) = (x − 3)² − 7. Minimum ialah −7 pada x = 3, yang berada di dalam 0 ≤ x ≤ 5.
Titik hujung: f(0) = 2 dan f(5) = 25 − 30 + 2 = −3. Semak dengan kuasa dua lengkap: (0 − 3)² − 7 = 2 dan (5 − 3)² − 7 = −3. Yang terbesar ialah 2.
Julat: −7 ≤ f(x) ≤ 2.
6. f(x) = 2x − 3 dan g(x) = x² + 1. Cari fg(x) dan gf(x).
Tunjuk jawapan
fg(x) = f(x² + 1) = 2(x² + 1) − 3 = 2x² − 1.
gf(x) = g(2x − 3) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 9 + 1 = 4x² − 12x + 10.
Semak dengan x = 1: g(1) = 2 dan f(2) = 1, dan 2 − 1 = 1. Juga f(1) = −1 dan g(−1) = 2, dan 4 − 12 + 10 = 2.
fg(x) = 2x² − 1 dan gf(x) = 4x² − 12x + 10.
7. Menggunakan fungsi dalam soalan 6, selesaikan fg(x) = 17.
Tunjuk jawapan
2x² − 1 = 17, jadi 2x² = 18, jadi x² = 9.
x = 3 atau x = −3. Semak x = 3: g(3) = 10 dan f(10) = 17. Semak x = −3: g(−3) = 10 juga.
8. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = (3x − 1)/(x + 2) untuk x ≠ −2. Cari f⁻¹(x) dan nyatakan domainnya.
Tunjuk jawapan
y(x + 2) = 3x − 1, jadi yx + 2y = 3x − 1, jadi yx − 3x = −1 − 2y, jadi x(y − 3) = −(1 + 2y), jadi x = (2y + 1)/(3 − y).
f⁻¹(x) = (2x + 1)/(3 − x).
Julat f: f(x) = 3 − 7/(x + 2), yang tidak pernah sama dengan 3. Jadi domain f⁻¹ ialah x ≠ 3.
Semak: f(1) = 2/3, dan f⁻¹(2/3) = (4/3 + 1)/(3 − 2/3) = (7/3)/(7/3) = 1.
9. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x² − 2 untuk x ≥ 0. Cari f⁻¹(x) dan nyatakan domainnya.
Tunjuk jawapan
y = x² − 2, jadi x² = y + 2, dan oleh kerana x ≥ 0, x = √(y + 2).
f⁻¹(x) = √(x + 2). Julat f ialah f(x) ≥ −2, jadi domain f⁻¹ ialah x ≥ −2.
Semak: f(3) = 7, dan f⁻¹(7) = √9 = 3.
10. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x² − 8x + 3 untuk x nyata. Tunjukkan f tiada fungsi songsang. Kemudian cari domain terbesar berbentuk x ≥ k yang membolehkan f⁻¹ wujud, dan cari f⁻¹(x).
Tunjuk jawapan
f(0) = 3 dan f(8) = 64 − 64 + 3 = 3. Dua input berbeza memberi output yang sama, jadi f ialah banyak kepada satu dan tiada fungsi songsang pada semua x nyata.
Lengkapkan kuasa dua: f(x) = (x − 4)² − 13. Titik pusingan berada pada x = 4, jadi k = 4. Pada x ≥ 4 julatnya ialah f(x) ≥ −13.
y = (x − 4)² − 13 memberi x − 4 = √(y + 13), jadi x = 4 + √(y + 13).
f⁻¹(x) = 4 + √(x + 13) untuk x ≥ −13. Semak: f(6) = 36 − 48 + 3 = −9, dan f⁻¹(−9) = 4 + 2 = 6.
11. f(x) = 1/(x − 2) untuk x ≠ 2, dan g(x) = x + 5 untuk semua x nyata. Cari fg(x) dan gf(x), dan nyatakan nilai x yang mesti dikecualikan oleh setiap satu.
Tunjuk jawapan
fg(x) = f(x + 5) = 1/(x + 5 − 2) = 1/(x + 3). Penyebut sifar pada x = −3, jadi x ≠ −3.
gf(x) = g(1/(x − 2)) = 1/(x − 2) + 5. Fungsi dalam f mengecualikan x = 2, jadi x ≠ 2.
12. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x² + 4x untuk x ≥ −2. Cari julat f, kemudian cari f⁻¹(x) dan gunakannya untuk menilai f⁻¹(5).
Tunjuk jawapan
Lengkapkan kuasa dua: f(x) = (x + 2)² − 4. Minimum ialah −4 pada x = −2, dan f menokok untuk x ≥ −2. Julat: f(x) ≥ −4.
y = (x + 2)² − 4 memberi x + 2 = √(y + 4), jadi x = −2 + √(y + 4).
f⁻¹(x) = −2 + √(x + 4) untuk x ≥ −4.
f⁻¹(5) = −2 + √9 = −2 + 3 = 1. Semak: f(1) = 1 + 4 = 5.
Jika anda tersilap
- Soalan 1 hingga 3, nilai dikecualikan yang salah atau tiada: kembali kepada mencari input sah bagi ungkapan nisbah. Samakan penyebut asal dengan sifar dan jangan memansuhkan dahulu.
- Soalan 4 dan 5, julat terkeluar kerana titik pusingan: kembali kepada menentukan julat daripada domain terhad. Sentiasa tanya sama ada titik pusingan berada di dalam selang.
- Soalan 6, 7 dan 11, susunan salah atau pengecualian tiada: kembali kepada membentuk fungsi gubahan dalam susunan yang betul. Baca fg(x) sebagai f(g(x)) dan semak dengan satu nombor.
- Soalan 8, 9 dan 12, fungsi songsang atau domainnya: kembali kepada mencari fungsi songsang dan menyemak domainnya. Domain f⁻¹ ialah julat f.
- Soalan 10, tiada fungsi songsang atau sekatan salah: kembali kepada menerangkan pemetaan banyak kepada satu. Mulakan daripada titik pusingan.
Catat setiap jenis ralat dalam log kesilapan dan baris ujian semula, kemudian cuba soalan baharu pada kemahiran yang sama beberapa hari kemudian. Pelatih kerja tanpa kalkulator membantu menyemak kurungan yang dikembangkan dan nilai tepat.
Jika satu jenis ralat terus kembali, biasanya ia tabiat dan bukan jurang kefahaman. Guru boleh mengenal pastinya dengan cepat dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.