Jika anda boleh membezakan sebarang ungkapan tetapi kosong apabila soalan menerangkan sebuah kotak, pagar atau kos, jurangnya biasanya ialah pemodelan, bukan kalkulus. Anda belum menukar perkataan kepada satu rumus dalam satu pemboleh ubah. Sebaik sahaja rumus itu wujud, anda sudah tahu apa yang perlu dibuat.
Laman ini memberi cara yang boleh diulang untuk membina model dan contoh berlangkah yang penuh. Ia menyokong titik pegun dan pengoptimuman.
Apakah yang sebenarnya tidak kena?
Ada tiga tempat pelajar lazimnya tersekat:
- Tiada kuantiti dinamakan. Soalan meminta “isi padu terbesar” tetapi tiada V = … ditulis.
- Dua pemboleh ubah tertinggal. Rumus mempunyai x dan y, dan tiada arah untuk diteruskan.
- Tiada semakan di akhir. Titik pegun ditemui, tetapi tiada siapa bertanya sama ada ia dibenarkan, atau sama ada ia maksimum atau minimum.
Setiap satu ada penyelesaian, dan rutin di bawah meliputi ketiga-tiganya.
Rutin yang membina model
- Lukis dan labelkan. Beri setiap panjang satu huruf. Tandakan apa yang tetap.
- Namakan sasaran. Tulis “V = …” atau “L = …” untuk kuantiti yang dimaksimumkan atau diminimumkan.
- Tulis kekangan. Ini ialah fakta yang mengikat pemboleh ubah, seperti jumlah panjang yang tetap.
- Hapuskan sehingga satu pemboleh ubah. Gunakan kekangan untuk menulis sasaran dalam satu huruf.
- Nyatakan julat yang dibenarkan. Panjang adalah positif, dan pemotongan tidak boleh menggunakan lebih banyak bahan daripada yang ada.
- Bezakan, samakan dengan sifar, selesaikan.
- Justifikasikan dan jawab. Uji maksimum atau minimum, tolak nilai di luar julat, dan beri kuantiti yang diminta, dengan unit.
Contoh berlangkah
Sehelai kadbod segi empat sama bersisi 12 cm. Sebuah segi empat sama bersisi x cm dipotong dari setiap sudut, dan sisi dilipat ke atas untuk membuat kotak terbuka. Cari nilai x yang memberi isi padu terbesar, dan isi padu itu.
Langkah 1 dan 2, lukis dan namakan sasaran. Tapaknya segi empat sama bersisi (12 − 2x), kerana panjang x dibuang dari setiap hujung. Tingginya x. Jadi V = x(12 − 2x)².
Langkah 3, kekangan. Ia sudah terbina: satu pemboleh ubah, x, menerangkan seluruh kotak.
Langkah 5, julat dibenarkan. Sisi tapak mesti positif, jadi 12 − 2x > 0, memberi 0 < x < 6.
Langkah 6, bezakan. Menggunakan petua hasil darab dan petua rantai:
dV/dx = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x)(−2) = (12 − 2x)[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x).
Samakan dV/dx = 0: 12 − 2x = 0 memberi x = 6, dan 12 − 6x = 0 memberi x = 2.
Langkah 7, justifikasi. x = 6 berada di luar julat yang dibenarkan, kerana 0 < x < 6 mengecualikannya, dan ia memberi kotak tanpa tapak, jadi V = 0. Kekalkan x = 2.
Uji kecerunan pada kedua-dua sisi: pada x = 1, dV/dx = (10)(6) = 60 > 0. Pada x = 3, dV/dx = (6)(−6) = −36 < 0. Kecerunan berubah daripada positif kepada negatif, jadi x = 2 ialah maksimum.
Isi padu: V = 2 × (12 − 4)² = 2 × 64 = 128 cm³.
Semakan bebas. Pada x = 1.9, V = 1.9 × 8.2² = 127.756. Pada x = 2.1, V = 2.1 × 7.8² = 127.764. Kedua-duanya di bawah 128, dan ini selaras.
Kesilapan yang perlu diawasi
Gelinciran biasa ialah melaporkan kedua-dua nilai pegun tanpa menyemak julat.
Jawapan salah: “x = 2 atau x = 6, jadi isi padu maksimum ialah pada x = 6.”
Pelajar berhenti pada algebra. Pada x = 6 tapak bersisi 0, jadi “kotak” itu rata dan isi padunya sifar.
Pembetulannya ialah langkah 5: tulis julat sebelum membezakan, dan gunakannya selepas itu. Titik pegun ialah calon, bukan jawapan. Soalan maksimum dan minimum sering mempunyai satu punca tambahan yang disingkirkan oleh konteks.
Semak sendiri
1. Seorang petani mempunyai 80 m pagar untuk kandang segi empat tepat. Satu sisi ialah dinding sedia ada, jadi pagar meliputi tiga sisi yang lain. Dua sisi berpanjang x dan sisi selari dengan dinding ialah y. Cari x untuk luas terbesar, dan luas itu.
Tunjuk jawapan
Kekangan: 2x + y = 80, jadi y = 80 − 2x. Luas L = xy = 80x − 2x², dengan 0 < x < 40.
dL/dx = 80 − 4x = 0, jadi x = 20. Terbitan kedua ialah −4, negatif, jadi ini maksimum.
Maka y = 40 dan L = 800 m². Semak: x = 19 memberi 19 × 42 = 798, dan x = 21 memberi 21 × 38 = 798.
2. Dua nombor berjumlah 10. Cari dua nombor yang menjadikan hasil tambah kuasa dua keduanya paling kecil, dan hasil tambah terkecil itu.
Tunjuk jawapan
Andaikan nombor itu x dan 10 − x. S = x² + (10 − x)² = 2x² − 20x + 100.
dS/dx = 4x − 20 = 0, jadi x = 5. Terbitan kedua ialah 4 > 0, minimum. Kedua-dua nombor ialah 5 dan hasil tambah terkecil ialah 50. Semak x = 4: 16 + 36 = 52.
3. Sebuah kotak terbuka bertapak segi empat sama bersisi x cm dan tinggi h cm mesti memuatkan 32 cm³. Cari x yang memberi luas permukaan luar terkecil, dan luas itu.
Tunjuk jawapan
Kekangan isi padu: x²h = 32, jadi h = 32/x². Luas permukaan (tapak ditambah empat sisi) L = x² + 4xh = x² + 128/x.
dL/dx = 2x − 128/x² = 0, jadi x³ = 64 dan x = 4. Terbitan kedua 2 + 256/x³ = 6 > 0, minimum. Maka h = 2 dan L = 16 + 32 = 48 cm². Semak x = 3: 9 + 42.67 = 51.67. Semak x = 5: 25 + 25.6 = 50.6.
Apa yang boleh anda buat seterusnya?
Cuba peneroka bentuk dan kadar kalkulus untuk melihat bagaimana lengkung dan tangen berubah apabila x bergerak, dan pelatih kerja tanpa kalkulator untuk mengekalkan aritmetik yang tepat. Kemudian latih lebih banyak kemahiran ini dalam hab latihan asal.
Apabila sebuah cerita masih tidak memberi baris pertama, ia membantu jika ada seseorang bertanya “apa yang anda cuba jadikan paling besar?” pada masa yang tepat. Itulah yang boleh diberikan oleh tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu, dan kelas percubaan berbayar ialah cara praktikal untuk mengetahui sama ada rentaknya sesuai dengan anda.