如果你能对任何式子求导，却在题目描述一个盒子、一道围栏或一笔成本时脑中一片空白，缺口通常是建模，而不是微积分。你还没有把文字变成一个只含一个变量的式子。式子一旦出现，你早就知道接下来该做什么。
本页提供一个可重复使用的建模方法和完整例题。它配合驻点与最优化使用。
到底哪里出了问题？
学生通常卡在三个地方：
- 没有给目标量命名。 题目要”最大体积”，却没有写 V = …。
- 还剩两个变量。 式子里有 x 和 y，无从下手。
- 最后没有检查。 找到了驻点，却没有问它是否允许，也没有判断是极大还是极小。
每一种都有对策，下面的步骤涵盖这三种。
建立模型的步骤
- 画图并标记。 给每个长度一个字母，标出固定不变的量。
- 写出目标。 为要最大化或最小化的量写下”V = …”或”A = …”。
- 写出限制条件。 这是把变量联系起来的事实，例如固定的总长度。
- 消去变量，只剩一个。 用限制条件把目标写成只含一个字母的式子。
- 写出允许的范围。 长度为正，裁剪用的材料不能超过现有的。
- 求导，令其为零，求解。
- 检验并作答。 判断极大或极小，舍去范围之外的值，给出题目要的量和单位。
例题详解
一张边长 12 cm 的正方形卡纸，从四个角各剪去一个边长 x cm 的小正方形，再把四边折起，做成一个无盖盒子。求使体积最大的 x 值，以及这个最大体积。
第 1、2 步，画图并写出目标。 底面是边长 (12 − 2x) 的正方形，因为每一端各去掉长度 x。高是 x。所以 V = x(12 − 2x)²。
第 3 步，限制条件。 已经内含在式子里：一个变量 x 就描述了整个盒子。
第 5 步，允许范围。 底面边长必须为正，所以 12 − 2x > 0，得 0 < x < 6。
第 6 步，求导。 用乘积法则和链式法则：
dV/dx = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x)(−2) = (12 − 2x)[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x)。
令 dV/dx = 0：12 − 2x = 0 得 x = 6，12 − 6x = 0 得 x = 2。
第 7 步，检验。 x = 6 在允许范围 0 < x < 6 之外，而且此时盒子没有底面，V = 0。保留 x = 2。
检查两侧斜率：x = 1 时 dV/dx = (10)(6) = 60 > 0。x = 3 时 dV/dx = (6)(−6) = −36 < 0。斜率由正变负，所以 x = 2 是极大点。
体积：V = 2 × (12 − 4)² = 2 × 64 = 128 cm³。
独立检验。 x = 1.9 时，V = 1.9 × 8.2² = 127.756。x = 2.1 时，V = 2.1 × 7.8² = 127.764。两者都小于 128，与结果吻合。
要留意的错误
一个典型的失误是报告两个驻点的值，却没有检查范围。
错误的答案：“x = 2 或 x = 6，所以最大体积在 x = 6。”
学生在代数这一步就停了。x = 6 时底面边长是 0，“盒子”是平的，体积为零。
改正的办法就是第 5 步：求导之前先写出范围，求导之后拿来检验。驻点只是候选，不是答案。极大极小题经常多出一个被题目情境排除的根。
自我检测
1. 农夫有 80 m 围栏，要围一个长方形的羊圈。一边是现成的墙，所以围栏只需围另外三边。两条边长为 x，与墙平行的边为 y。求使面积最大的 x，以及最大面积。
显示答案
限制条件：2x + y = 80，所以 y = 80 − 2x。面积 A = xy = 80x − 2x²，其中 0 < x < 40。
dA/dx = 80 − 4x = 0，所以 x = 20。二阶导数是 −4，为负，所以是极大点。
于是 y = 40，A = 800 m²。检验：x = 19 时 19 × 42 = 798，x = 21 时 21 × 38 = 798。
2. 两个数之和为 10。求使它们的平方和最小的两个数，以及这个最小和。
显示答案
设两数为 x 和 10 − x。S = x² + (10 − x)² = 2x² − 20x + 100。
dS/dx = 4x − 20 = 0，所以 x = 5。二阶导数是 4 > 0，为极小点。两个数都是 5，最小和是 50。检验 x = 4：16 + 36 = 52。
3. 一个无盖盒子，底面是边长 x cm 的正方形，高为 h cm，容积必须是 32 cm³。求使外表面积最小的 x，以及这个面积。
显示答案
体积限制：x²h = 32，所以 h = 32/x²。表面积（底面加四个侧面）A = x² + 4xh = x² + 128/x。
dA/dx = 2x − 128/x² = 0，所以 x³ = 64，x = 4。二阶导数 2 + 256/x³ = 6 > 0，为极小点。于是 h = 2，A = 16 + 32 = 48 cm²。检验 x = 3：9 + 42.67 = 51.67。检验 x = 5：25 + 25.6 = 50.6。
接下来可以做什么？
试试微积分形状与变化率探索器，看看 x 变动时曲线和切线怎样变化，再用不用计算器的书写训练器保持运算精确。然后在原创练习中心里多练这项技能。
当一段文字仍然给不出第一行时，有人在恰当的时候问一句”你想让什么最大？“会很有帮助。一对一线上 Additional Mathematics 补习就能提供这种支持，而付费试听课是了解节奏是否适合你的实际办法。