Bagi y = a(x + p)² + q, titik pusingan (turning point) ialah (−p, q). Jika a > 0, ia ialah minimum dengan nilai terkecil q. Jika a < 0, ia ialah maksimum dengan nilai terbesar q.
Pelajaran ini menyusul melengkapkan kuasa dua dalam struktur kuadratik dan diskriminan, dan ia terus menyumbang kepada soalan julat dan pengoptimuman.
Bagaimana bentuk kuasa dua lengkap menunjukkan titik pusingan?
Kuasa dua tidak pernah negatif. Dalam 2(x − 2)² + 3, bahagian kurungan ialah 0 apabila x = 2 dan positif di tempat lain. Jadi jumlah terkecil ialah 3, dicapai pada x = 2.
Ini memberi tiga fakta berasingan: kedudukan x = 2, nilai 3 dan titik (2, 3). Mengasingkan ketiga-tiganya mengelakkan kebanyakan kesilapan format jawapan.
Bagaimana membaca setiap bahagian?
- Lengkapkan kuasa dua untuk mendapat a(x + p)² + q.
- Koordinat x titik pusingan: jadikan kurungan sifar, jadi x = −p.
- Koordinat y titik pusingan: ini ialah q.
- Tentukan maksimum atau minimum daripada tanda a.
- Tulis julat daripada q, mengikut arah lengkung terbuka.
Contoh berlangkah
Fungsinya ialah f(x) = 2x² − 8x + 11. Cari titik pusingan, nilai minimum dan julat f.
Langkah 1, lengkapkan kuasa dua: 2(x² − 4x) + 11 = 2[(x − 2)² − 4] + 11 = 2(x − 2)² − 8 + 11 = 2(x − 2)² + 3.
Langkah 2, titik pusingan: x − 2 = 0 memberi x = 2, dan nilai di situ ialah 3. Titik pusingan ialah (2, 3).
Langkah 3, jenis: a = 2 positif, jadi ia minimum dengan nilai terkecil 3.
Langkah 4, julat: f(x) ≥ 3.
Semakan: f(2) = 8 − 16 + 11 = 3. Juga f(0) = 11 dan 2(0 − 2)² + 3 = 11.
Versi konteks: tinggi sebiji bola ialah h = −5t² + 20t + 1 meter.
Maka h = −5(t² − 4t) + 1 = −5[(t − 2)² − 4] + 1 = −5(t − 2)² + 21. Jadi tinggi maksimum ialah 21 m, pada t = 2 s. Semak: h(0) = −20 + 21 = 1.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan kerap ialah menyalin tanda dalam kurungan terus ke dalam koordinat.
Jawapan yang salah: bagi 2(x − 2)² + 3, titik pusingan ialah (−2, 3)
Pelajar membaca “−2” daripada kurungan dan bukan nilai yang menjadikan kurungan sifar.
Uji: f(−2) = 8 + 16 + 11 = 35, jauh daripada minimum 3. Pembetulannya ialah menyelesaikan “kurungan = 0” setiap kali, supaya (x − 2) memberi x = 2 dan (x + 2) memberi x = −2.
Semak diri anda
1. Cari titik pusingan bagi y = x² + 10x + 20.
Tunjukkan jawapan
x² + 10x + 20 = (x + 5)² − 25 + 20 = (x + 5)² − 5. Titik pusingan ialah (−5, −5). Semak: 25 − 50 + 20 = −5.
2. Cari nilai terbesar bagi 7 + 6x − x² dan nilai x di mana ia berlaku.
Tunjukkan jawapan
7 + 6x − x² = −(x² − 6x) + 7 = −[(x − 3)² − 9] + 7 = −(x − 3)² + 16. Nilai terbesar 16 pada x = 3. Semak: 7 + 18 − 9 = 16.
3. Bagi f(x) = 3x² − 12x + 5, nyatakan julat f dan cari nilai k supaya f(x) = k tiada penyelesaian nyata.
Tunjukkan jawapan
f(x) = 3(x² − 4x) + 5 = 3[(x − 2)² − 4] + 5 = 3(x − 2)² − 7. Julatnya f(x) ≥ −7. Tiada penyelesaian nyata bagi k < −7, kerana lengkung tidak pernah serendah itu. Semak: f(2) = 12 − 24 + 5 = −7.
Ke mana selepas ini?
Pelajaran seterusnya, selesaikan syarat parameter untuk punca berulang, mengaitkan nilai minimum dengan diskriminan. Cuba pada penjelajah struktur kuadratik, tempat titik pusingan muncul pada graf, dan gunakan pelatih kerja tanpa kalkulator untuk melatih aritmetik.
Jika memberi jawapan yang betul kepada soalan yang salah terus mengorbankan markah, guru kami dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu boleh membantu anda membina rutin semakan yang sesuai dengan cara anda bekerja.