Untuk membina kuadratik daripada punca α dan β, gunakan x² − (α + β)x + αβ = 0. Hasil tambah punca dimasukkan dengan tanda negatif, dan hasil darab ialah sebutan pemalar.
Pelajaran ini ialah sebahagian daripada struktur kuadratik dan diskriminan dan menyediakan anda untuk soalan tentang punca yang berkaitan dengan punca persamaan lain.
Mengapa peraturan hasil tambah dan hasil darab berfungsi?
Jika punca ialah α dan β, kuadratiknya ialah (x − α)(x − β). Pengembangan memberi x² − (α + β)x + αβ. Jadi pekali x ialah negatif bagi hasil tambah, dan pemalar ialah hasil darab.
Dibaca secara terbalik, ax² + bx + c = 0 mempunyai hasil tambah punca −b/a dan hasil darab c/a. Anda boleh mencari dua nombor ini tanpa menyelesaikan apa-apa.
Bagaimana membina persamaan?
- Cari hasil tambah punca dan hasil darab punca.
- Gantikan ke dalam x² − (hasil tambah)x + (hasil darab) = 0.
- Hapuskan pecahan dengan mendarab keseluruhan, jika pekali integer diminta.
- Semak dengan menggantikan satu punca semula.
Contoh berlangkah
Bahagian (a). Cari persamaan kuadratik berpekali integer yang puncanya ialah 3 dan −1/2.
Hasil tambah = 3 − 1/2 = 5/2. Hasil darab = 3 × (−1/2) = −3/2.
x² − (5/2)x − 3/2 = 0. Darab dengan 2: 2x² − 5x − 3 = 0.
Semakan: diskriminan ialah 25 + 24 = 49, jadi x = (5 ± 7)/4, memberi 3 dan −1/2. Betul.
Bahagian (b). Punca bagi x² − 5x + 2 = 0 ialah α dan β. Cari persamaan yang puncanya α + 1 dan β + 1.
Daripada persamaan yang diberi, α + β = 5 dan αβ = 2.
Hasil tambah baharu = (α + 1) + (β + 1) = 5 + 2 = 7.
Hasil darab baharu = (α + 1)(β + 1) = αβ + (α + β) + 1 = 2 + 5 + 1 = 8.
Persamaannya ialah x² − 7x + 8 = 0.
Semakan: punca asal ialah (5 ± √17)/2, jadi punca baharu ialah (7 ± √17)/2. Hasil tambahnya 7 dan hasil darabnya (49 − 17)/4 = 8.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah tanda hasil tambah.
Jawapan yang salah: punca 3 dan −1/2, jadi x² + (5/2)x − 3/2 = 0
Pelajar menulis hasil tambah tanpa tanda negatif yang diperlukan oleh rumus.
Uji: pada x = 3, ini memberi 9 + 7.5 − 1.5 = 15, bukan 0. Pembetulannya ialah menulis templat x² − ( )x + ( ) = 0 dahulu dan hanya kemudian mengisi hasil tambah dan hasil darab.
Semak diri anda
1. Cari kuadratik yang puncanya 4 dan −7.
Tunjukkan jawapan
Hasil tambah = −3, hasil darab = −28. Jadi x² − (−3)x + (−28) = 0, iaitu x² + 3x − 28 = 0. Semak pada x = 4: 16 + 12 − 28 = 0.
2. Cari persamaan berpekali integer yang puncanya 2/3 dan 1/2.
Tunjukkan jawapan
Hasil tambah = 7/6, hasil darab = 1/3. Jadi x² − (7/6)x + 1/3 = 0. Darab dengan 6: 6x² − 7x + 2 = 0. Semak pada x = 1/2: 6/4 − 7/2 + 2 = 1.5 − 3.5 + 2 = 0.
3. Punca bagi 2x² − 6x + 1 = 0 ialah α dan β. Cari persamaan yang puncanya 2α dan 2β.
Tunjukkan jawapan
α + β = 3 dan αβ = 1/2. Hasil tambah baharu = 6, hasil darab baharu = 4 × 1/2 = 2. Persamaannya ialah x² − 6x + 2 = 0. Semak: punca asal ialah (3 ± √7)/2, jadi punca yang digandakan ialah 3 ± √7, dengan hasil tambah 6 dan hasil darab 9 − 7 = 2.
Ke mana selepas ini?
Idea yang sama menyokong teorem faktor dalam faktor dan baki polinomial. Dalam modul ini, teruskan ke hubungkan titik pusingan dengan nilai minimum. Penjelajah struktur kuadratik menunjukkan bentuk pemfaktoran dan piawai bersebelahan, dan pelatih kerja tanpa kalkulator melatih pecahan tepat.
Jika anda boleh menyelesaikan persamaan tetapi kaku apabila diminta membinanya, itulah corak yang boleh diatasi bersama guru dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.