Set ini mempunyai sebelas soalan asli, disusun daripada mudah kepada sukar, meliputi kelima-lima pelajaran dalam struktur kuadratik dan diskriminan. Soalan 1 hingga 4 ialah pemanas badan, 5 hingga 8 memerlukan kaedah penuh, dan 9 hingga 11 menggabungkan kemahiran.
Cuba setiap soalan di atas kertas dahulu. Beri jawapan tepat melainkan diminta sebaliknya, dan gunakan semakan penggantian dalam setiap jawapan. Penjelajah struktur kuadratik dan log kesilapan dan baris gilir ujian semula ialah teman yang berguna semasa anda bekerja.
Soalan
1. Tulis x² − 10x + 7 dalam bentuk (x + p)² + q.
Tunjukkan jawapan
Separuh daripada −10 ialah −5, dan (−5)² = 25. Jadi x² − 10x + 7 = (x − 5)² − 25 + 7 = (x − 5)² − 18. Semak pada x = 0: 25 − 18 = 7.
2. Tulis 4x² + 8x + 9 dalam bentuk a(x + p)² + q.
Tunjukkan jawapan
4(x² + 2x) + 9 = 4[(x + 1)² − 1] + 9 = 4(x + 1)² − 4 + 9 = 4(x + 1)² + 5. Semak pada x = 1: 4 + 8 + 9 = 21 dan 4 × 4 + 5 = 21.
3. Cari nilai diskriminan bagi 2x² − 3x + 5 dan nyatakan apa yang diberitahunya tentang punca.
Tunjukkan jawapan
a = 2, b = −3, c = 5. Diskriminan ialah (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31. Ia negatif, jadi persamaan tiada punca nyata.
4. Cari persamaan kuadratik yang puncanya 5 dan −2.
Tunjukkan jawapan
Hasil tambah = 3, hasil darab = −10. Jadi x² − 3x − 10 = 0. Semak pada x = 5: 25 − 15 − 10 = 0. Semak pada x = −2: 4 + 6 − 10 = 0. Persamaannya ialah x² − 3x − 10 = 0.
5. Cari titik pusingan bagi y = x² + 6x + 4 dan nyatakan sama ada ia maksimum atau minimum.
Tunjukkan jawapan
x² + 6x + 4 = (x + 3)² − 9 + 4 = (x + 3)² − 5. Titik pusingan ialah (−3, −5). Oleh sebab pekali x² positif, ia ialah minimum. Semak: 9 − 18 + 4 = −5.
6. Cari nilai k supaya kx² + 12x + 9 = 0 mempunyai punca sama.
Tunjukkan jawapan
Diskriminan ialah 144 − 4(k)(9) = 144 − 36k. Tetapkan kepada 0: k = 4. Semak: 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)², punca berulang. Jadi k = 4.
7. Garis y = x + c dan lengkung y = x² − 3x + 1 diberi. Cari nilai c supaya garis bertemu lengkung pada dua titik berbeza, dan titik sentuhan apabila garis ialah tangen.
Tunjukkan jawapan
x² − 3x + 1 = x + c memberi x² − 4x + (1 − c) = 0. Diskriminan ialah 16 − 4(1 − c) = 12 + 4c. Dua titik apabila c > −3. Tangen apabila c = −3: x² − 4x + 4 = 0, jadi x = 2, y = 2 − 3 = −1. Titik sentuhan (2, −1). Semak: lengkung pada x = 2 memberi 4 − 6 + 1 = −1.
8. Punca bagi x² − 6x + 4 = 0 ialah α dan β. Cari persamaan yang puncanya α² dan β².
Tunjukkan jawapan
α + β = 6 dan αβ = 4. Maka α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 36 − 8 = 28, dan α²β² = 16. Persamaannya ialah x² − 28x + 16 = 0. Semak: punca asal ialah 3 ± √5, kuasa duanya 14 ± 6√5, dengan hasil tambah 28 dan hasil darab 196 − 180 = 16.
9. Bagi f(x) = −2x² + 12x − 5, cari nilai terbesar f dan julat f.
Tunjukkan jawapan
−2(x² − 6x) − 5 = −2[(x − 3)² − 9] − 5 = −2(x − 3)² + 18 − 5 = −2(x − 3)² + 13. Nilai terbesar ialah 13 pada x = 3, jadi julatnya f(x) ≤ 13. Semak: f(3) = −18 + 36 − 5 = 13.
10. Cari julat nilai k supaya x² + kx + k + 3 = 0 tiada punca nyata.
Tunjukkan jawapan
Diskriminan ialah k² − 4(k + 3) = k² − 4k − 12 = (k − 6)(k + 2). Tiada punca nyata memerlukan (k − 6)(k + 2) < 0, iaitu −2 < k < 6. Semak k = 0: x² + 3 = 0 tiada punca nyata. Semak k = 7: 49 − 28 − 12 = 9, positif, jadi punca nyata wujud di luar julat.
11. Lengkung y = 2x² − 8x + k mempunyai nilai minimum 3. Cari k, dan cari persamaan garis selari dengan paksi-x yang menyentuh lengkung.
Tunjukkan jawapan
2(x² − 4x) + k = 2[(x − 2)² − 4] + k = 2(x − 2)² − 8 + k. Nilai minimum ialah k − 8, jadi k − 8 = 3 dan k = 11. Garis yang menyentuh lengkung pada titik terendahnya ialah y = 3. Semak: pada x = 2, 8 − 16 + 11 = 3. Semakan tambahan, 2x² − 8x + 11 = 3 memberi 2x² − 8x + 8 = 0, diskriminan 64 − 64 = 0.
Jika anda tersilap
- Soalan 1, 2, 9 atau 11 (kuasa dua lengkap, titik pusingan): ulang kaji lengkapkan kuasa dua tanpa kehilangan pekali dan hubungkan titik pusingan dengan nilai minimum. Kesilapan lazim ialah terlupa mendarab pemalar tambahan dengan a.
- Soalan 3, 7 atau 10 (diskriminan dan persilangan): ulang kaji guna diskriminan untuk mengelaskan persilangan. Pastikan persamaan sama dengan sifar sebelum membaca a, b dan c.
- Soalan 4 atau 8 (punca): ulang kaji bina kuadratik daripada punca. Tulis templat x² − (hasil tambah)x + (hasil darab) sebelum mengisi.
- Soalan 6 atau 10 (syarat bagi k): ulang kaji selesaikan syarat parameter untuk punca berulang. Kembangkan (k + sesuatu)² sepenuhnya.
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dengan jenisnya, supaya percubaan seterusnya menyasarkan tabiat. Jika jenis yang sama terus kembali, guru kami boleh melihat kerja anda dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.