Set ini mempunyai dua belas soalan asal, disusun daripada mudah kepada lebih sukar, meliputi kelima-lima pelajaran dalam titik pegun dan pengoptimuman. Soalan 1 hingga 5 melatih pencarian dan pengelasan titik, 6 hingga 9 menambah kekangan, titik hujung dan domain, dan 10 hingga 12 mencampurkan semuanya.
Cuba setiap soalan di atas kertas sebelum membuka jawapan. Tulis kekangan, fungsi objektif dan domain pada baris berasingan. Tandakan yang salah dan gunakan senarai penghalaan di hujung.
Soalan
1. Cari titik pegun bagi y = x² + 6x − 1 dan nyatakan sama ada ia maksimum atau minimum.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 2x + 6 = 0 memberi x = −3. Maka y = 9 − 18 − 1 = −10. d²y/dx² = 2 > 0, jadi ia minimum.
(−3, −10), minimum
2. Cari dan kelaskan titik pegun bagi y = x³ − 12x + 5.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2), jadi x = 2 atau x = −2. d²y/dx² = 6x.
Pada x = 2: y = 8 − 24 + 5 = −11, dan d²y/dx² = 12 > 0, jadi minimum.
Pada x = −2: y = −8 + 24 + 5 = 21, dan d²y/dx² = −12 < 0, jadi maksimum.
(2, −11) ialah minimum dan (−2, 21) ialah maksimum
3. Tunjukkan bahawa y = x³ − 3x² + 3x mempunyai satu titik pegun dan ia ialah titik lengkok balas pegun.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)². Ini sifar hanya pada x = 1, dengan y = 1 − 3 + 3 = 1.
Oleh sebab 3(x − 1)² tidak pernah negatif, kecerunan positif pada kedua-dua belah x = 1. Tandanya tidak berubah.
(1, 1) ialah satu-satunya titik pegun dan ia ialah lengkok balas
4. Cari dan kelaskan titik pegun bagi y = x⁴ − 4x³.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3), jadi x = 0 atau x = 3.
Pada x = 3: y = 81 − 108 = −27. d²y/dx² = 12x² − 24x = 108 − 72 = 36 > 0, jadi minimum.
Pada x = 0: y = 0 dan d²y/dx² = 0, jadi uji kecerunan. Pada x = −1, dy/dx = 4(1)(−4) = −16 (negatif). Pada x = 1, dy/dx = 4(1)(−2) = −8 (negatif). Tiada perubahan tanda, jadi lengkok balas.
(3, −27) ialah minimum dan (0, 0) ialah titik lengkok balas pegun
5. Cari titik pegun bagi y = 3x + 12/x² untuk x > 0 dan tunjukkan ia minimum.
Tunjuk jawapan
y = 3x + 12x⁻², jadi dy/dx = 3 − 24x⁻³ = 3 − 24/x³. Menyamakan dengan sifar memberi x³ = 8, jadi x = 2. Maka y = 6 + 3 = 9.
d²y/dx² = 72x⁻⁴ = 72/x⁴. Pada x = 2 ia ialah 72/16 = 4.5 > 0.
(2, 9) ialah minimum
6. Sebuah segi empat tepat mempunyai perimeter 50 cm. Cari luas terbesarnya.
Tunjuk jawapan
Katakan sisinya x dan y. Kekangan: x + y = 25, jadi y = 25 − x. Objektif: A = x(25 − x) = 25x − x².
dA/dx = 25 − 2x = 0 memberi x = 12.5, dan y = 12.5. d²A/dx² = −2 < 0, jadi maksimum.
Luas terbesar = 12.5 × 12.5 = 156.25 cm²
7. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi y = 2x³ − 9x² + 12x untuk 0 ≤ x ≤ 3.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2), jadi x = 1 atau x = 2, kedua-duanya di dalam selang.
y(1) = 2 − 9 + 12 = 5. y(2) = 16 − 36 + 24 = 4. Titik hujung: y(0) = 0 dan y(3) = 54 − 81 + 36 = 9.
Terbesar 9 (pada x = 3), terkecil 0 (pada x = 0)
8. Seorang petani mempunyai 40 m pagar untuk tiga sisi kandang yang bersandar pada dinding sepanjang 12 m. Cari luas terbesar.
Tunjuk jawapan
Katakan dua sisi ialah x m dan sisi sepanjang dinding ialah y m. Kekangan: 2x + y = 40, jadi y = 40 − 2x. Objektif: A = 40x − 2x².
Domain: y ≤ 12 memberi x ≥ 14, dan y > 0 memberi x < 20. Jadi 14 ≤ x ≤ 20.
dA/dx = 40 − 4x = 0 memberi x = 10, yang berada di luar domain. Bandingkan titik hujung: A(14) = 560 − 392 = 168 dan A(20) = 800 − 800 = 0.
Luas terbesar = 168 m², dengan x = 14 m dan y = 12 m
9. Sebiji bola dilontar supaya ketinggiannya ialah h = 1.5 + 12t − 4t² meter selepas t saat. Cari tinggi maksimum dan masa ia berlaku.
Tunjuk jawapan
dh/dt = 12 − 8t = 0 memberi t = 1.5. h = 1.5 + 18 − 9 = 10.5. d²h/dt² = −8 < 0, jadi maksimum.
Tinggi maksimum 10.5 m, selepas 1.5 saat
10. Sebuah kotak tanpa penutup mempunyai tapak segi empat sama bersisi x cm dan isi padu 32 cm³. Luas permukaannya ialah S = x² + 4xh, dengan h ialah tinggi. Cari nilai x yang meminimumkan S, dan S terkecil.
Tunjuk jawapan
Kekangan: x²h = 32, jadi h = 32/x². Maka S = x² + 4x(32/x²) = x² + 128/x.
dS/dx = 2x − 128/x² = 0 memberi x³ = 64, jadi x = 4. Maka h = 32/16 = 2 dan S = 16 + 32 = 48.
d²S/dx² = 2 + 256/x³ = 2 + 4 = 6 > 0, jadi minimum.
x = 4 cm, luas permukaan terkecil 48 cm²
11. Kos sebuah perjalanan ialah C = 2v + 800/v ringgit, dengan v km/j ialah laju dan v > 0. Cari laju yang memberi kos terendah dan kos itu.
Tunjuk jawapan
dC/dv = 2 − 800/v² = 0 memberi v² = 400, jadi v = 20 (v > 0). C = 40 + 40 = 80.
d²C/dv² = 1600/v³ = 1600/8000 = 0.2 > 0, jadi minimum.
Laju 20 km/j, kos terendah RM80
12. Dua nombor positif x dan y berjumlah 20. Cari nilai yang menjadikan x²y sebesar mungkin, dan nilai terbesar itu betul kepada 1 tempat perpuluhan.
Tunjuk jawapan
y = 20 − x, jadi F = x²(20 − x) = 20x² − x³ untuk 0 < x < 20.
dF/dx = 40x − 3x² = x(40 − 3x) = 0 memberi x = 40/3 (x = 0 tidak dibenarkan). Maka y = 20 − 40/3 = 20/3.
d²F/dx² = 40 − 6x = 40 − 80 = −40 < 0, jadi maksimum. F = (40/3)² × (20/3) = 1600/9 × 20/3 = 32000/27 ≈ 1185.2.
x = 13.3 (40/3), y = 6.7 (20/3), nilai terbesar ≈ 1185.2
Jika anda tersilap
- Soalan 1 hingga 3, atau koordinat y tertinggal: kembali kepada mencari titik pegun daripada terbitan.
- Soalan 2 hingga 5, atau pengelasan yang salah: ulang kaji mengelaskan kelakuan pegun, terutamanya ujian kecerunan apabila d²y/dx² = 0.
- Soalan 6, 10 dan 12, atau anda tidak tahu bermula: berlatih membina fungsi objektif daripada kekangan.
- Soalan 7, atau nilai terbesar yang kelihatan terlalu kecil: semak menyemak titik hujung.
- Soalan 8 dan 9, atau jawapan tanpa unit: kerjakan mentafsir nilai optimum dengan unit dan domain.
- Kesilapan terbitan dalam soalan 5 dan 11: ulang kaji teknik pembezaan.
Rekodkan setiap kesilapan dalam log kesilapan dan baris ujian semula, dan gunakan pelatih kerja tanpa kalkulator atau penjelajah struktur kuadratik untuk semakan tambahan. Jika satu jenis kesilapan terus berulang, tuisyen Matematik Tambahan ialah satu cara untuk mengusahakannya bersama guru.