这套练习有十二道原创题，由易到难，涵盖驻点与最优化的全部五课。第 1 到 5 题练习求点与分类，第 6 到 9 题加入约束、端点和定义域，第 10 到 12 题则把所有内容混在一起。
先在纸上做每一题，再打开答案。把约束、目标函数和定义域各写成单独一行。标出做错的题，并使用末尾的对照清单。
题目
1. 求 y = x² + 6x − 1 的驻点，并说明它是最大值还是最小值。
显示答案
dy/dx = 2x + 6 = 0，得 x = −3。于是 y = 9 − 18 − 1 = −10。d²y/dx² = 2 > 0，所以是最小值。
(−3, −10)，最小值
2. 求 y = x³ − 12x + 5 的驻点并判断类型。
显示答案
dy/dx = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2)，所以 x = 2 或 x = −2。d²y/dx² = 6x。
x = 2：y = 8 − 24 + 5 = −11，d²y/dx² = 12 > 0，所以是最小值。
x = −2：y = −8 + 24 + 5 = 21，d²y/dx² = −12 < 0，所以是最大值。
(2, −11) 是最小值，(−2, 21) 是最大值
3. 证明 y = x³ − 3x² + 3x 只有一个驻点，并且它是驻拐点。
显示答案
dy/dx = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)²。它只在 x = 1 时为零，此时 y = 1 − 3 + 3 = 1。
因为 3(x − 1)² 永不为负，x = 1 两侧的梯度都为正，符号没有改变。
(1, 1) 是唯一的驻点，并且是拐点
4. 求 y = x⁴ − 4x³ 的驻点并判断类型。
显示答案
dy/dx = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3)，所以 x = 0 或 x = 3。
x = 3：y = 81 − 108 = −27。d²y/dx² = 12x² − 24x = 108 − 72 = 36 > 0，所以是最小值。
x = 0：y = 0，d²y/dx² = 0，因此检验梯度。x = −1 时 dy/dx = 4(1)(−4) = −16（负）；x = 1 时 dy/dx = 4(1)(−2) = −8（负）。符号没有改变，所以是拐点。
(3, −27) 是最小值，(0, 0) 是驻拐点
5. 求 y = 3x + 12/x²（x > 0）的驻点，并证明它是最小值。
显示答案
y = 3x + 12x⁻²，所以 dy/dx = 3 − 24x⁻³ = 3 − 24/x³。令其为零得 x³ = 8，所以 x = 2。于是 y = 6 + 3 = 9。
d²y/dx² = 72x⁻⁴ = 72/x⁴。x = 2 时为 72/16 = 4.5 > 0。
(2, 9) 是最小值
6. 一个长方形的周长是 50 cm，求它的最大面积。
显示答案
设两边为 x 和 y。约束：x + y = 25，所以 y = 25 − x。目标：A = x(25 − x) = 25x − x²。
dA/dx = 25 − 2x = 0，得 x = 12.5，y = 12.5。d²A/dx² = −2 < 0，所以是最大值。
最大面积 = 12.5 × 12.5 = 156.25 cm²
7. 求 y = 2x³ − 9x² + 12x 在 0 ≤ x ≤ 3 上的最大值和最小值。
显示答案
dy/dx = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2)，所以 x = 1 或 x = 2，都在区间内。
y(1) = 2 − 9 + 12 = 5。y(2) = 16 − 36 + 24 = 4。端点：y(0) = 0，y(3) = 54 − 81 + 36 = 9。
最大值 9（x = 3），最小值 0（x = 0）
8. 农夫有 40 m 围栏，围靠墙羊圈的三条边，墙长 12 m。求最大面积。
显示答案
设两条边各为 x m，沿墙的边为 y m。约束：2x + y = 40，所以 y = 40 − 2x。目标：A = 40x − 2x²。
定义域：y ≤ 12 得 x ≥ 14，y > 0 得 x < 20。所以 14 ≤ x ≤ 20。
dA/dx = 40 − 4x = 0，得 x = 10，在定义域之外。比较端点：A(14) = 560 − 392 = 168，A(20) = 800 − 800 = 0。
最大面积 = 168 m²，此时 x = 14 m，y = 12 m
9. 一个球被抛出，t 秒后的高度是 h = 1.5 + 12t − 4t² 米。求最大高度及出现的时间。
显示答案
dh/dt = 12 − 8t = 0，得 t = 1.5。h = 1.5 + 18 − 9 = 10.5。d²h/dt² = −8 < 0，所以是最大值。
最大高度 10.5 m，在 1.5 秒后
10. 一个无盖的盒子，底面是边长 x cm 的正方形，体积为 32 cm³。表面积为 S = x² + 4xh，其中 h 是高。求使 S 最小的 x 及最小的 S。
显示答案
约束：x²h = 32，所以 h = 32/x²。于是 S = x² + 4x(32/x²) = x² + 128/x。
dS/dx = 2x − 128/x² = 0，得 x³ = 64，所以 x = 4。于是 h = 32/16 = 2，S = 16 + 32 = 48。
d²S/dx² = 2 + 256/x³ = 2 + 4 = 6 > 0，所以是最小值。
x = 4 cm，最小表面积 48 cm²
11. 一次行程的成本是 C = 2v + 800/v 令吉，v km/h 是速度，v > 0。求使成本最低的速度及该成本。
显示答案
dC/dv = 2 − 800/v² = 0，得 v² = 400，所以 v = 20（v > 0）。C = 40 + 40 = 80。
d²C/dv² = 1600/v³ = 1600/8000 = 0.2 > 0，所以是最小值。
速度 20 km/h，最低成本 RM80
12. 两个正数 x 和 y 的和是 20。求使 x²y 最大的值，以及该最大值（精确到 1 位小数）。
显示答案
y = 20 − x，所以 F = x²(20 − x) = 20x² − x³，0 < x < 20。
dF/dx = 40x − 3x² = x(40 − 3x) = 0，得 x = 40/3（x = 0 不允许）。于是 y = 20 − 40/3 = 20/3。
d²F/dx² = 40 − 6x = 40 − 80 = −40 < 0，所以是最大值。F = (40/3)² × (20/3) = 1600/9 × 20/3 = 32000/27 ≈ 1185.2。
x = 13.3（40/3），y = 6.7（20/3），最大值 ≈ 1185.2
如果你做错了
- **第 1 到 3 题，或漏了 y 坐标：**回到由导数求驻点。
- **第 2 到 5 题，或分类判断出错：**复习判断驻点类型，特别是 d²y/dx² = 0 时的梯度检验。
- **第 6、10、12 题，或不知道怎么开头：**练习由约束条件建立目标函数。
- **第 7 题，或算出的最大值看起来偏小：**重温检查端点。
- **第 8、9 题，或答案没有单位：**做结合单位和定义域解释最优值。
- **第 5、11 题的求导失误：**复习求导技巧。
把每次失误记在错题记录与重测队列里，并用免计算器演算训练器或二次函数结构探索器多做检查。如果同一种错误一再出现，附加数学补习是与老师一起解决它的一种方式。