Normal kepada lengkung pada satu titik ialah garis lurus melalui titik itu yang serenjang dengan tangen. Kecerunannya ialah salingan negatif bagi kecerunan tangen: jika tangen mempunyai kecerunan m, normal mempunyai kecerunan −1/m.
Anda membina atas mencari persamaan tangen, jadi titik dan kecerunan tangen datang dahulu. Pelajaran ini sebahagian daripada tangen, normal dan kadar.
Mengapa salingan negatif?
Dua garis serenjang dengan kecerunan m₁ dan m₂ memenuhi m₁ × m₂ = −1. Garis curam yang naik ke kanan (m = 5) dipotong pada sudut tepat oleh garis landai yang turun ke kanan (−1/5).
Kecerunan 2 menjadi −1/2. Kecerunan −3/4 menjadi 4/3. Setiap kali, terbalikkan pecahan dan tukar tanda.
Apakah kaedahnya, langkah demi langkah?
- Cari titik dengan menggantikan x ke dalam lengkung.
- Cari kecerunan tangen dengan menggantikan x ke dalam dy/dx.
- Tukar kepada kecerunan normal: −1 dibahagi dengan kecerunan tangen.
- Tulis garis menggunakan y − y₁ = m(x − x₁).
- Semak bahawa hasil darab dua kecerunan ialah −1 dan titik itu padan.
Contoh berlangkah
Cari persamaan normal kepada y = 2x² − 3x + 1 pada titik di mana x = 2. Beri jawapan dalam bentuk ax + by + c = 0 dengan pekali integer.
Langkah 1, titik: y = 2(4) − 6 + 1 = 3. Titiknya ialah (2, 3).
Langkah 2, kecerunan tangen: dy/dx = 4x − 3, maka pada x = 2 kecerunannya 5.
Langkah 3, kecerunan normal: −1/5.
Langkah 4, garis: y − 3 = −(1/5)(x − 2). Darab dengan 5: 5y − 15 = −x + 2.
Langkah 5, susun semula: x + 5y − 17 = 0.
Semak: 5 × (−1/5) = −1. ✓ Titik (2, 3): 2 + 15 − 17 = 0. ✓
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah melakukan separuh sahaja daripada penukaran itu.
Kerja yang salah: kecerunan tangen 5, jadi kecerunan normal ialah −5 (tanda ditukar, tidak diterbalikkan). Atau: kecerunan normal ialah 1/5 (diterbalikkan, tanda tidak ditukar).
Kedua-dua garis tidak serenjang. Hasil darab kecerunan ialah −25 atau +1, bukan −1.
Pembetulannya ialah menulis “m × m = −1” di sebelah kerja anda dan mengujinya sebelum meneruskan. Jika hasil darab bukan −1, satu daripada dua langkah tertinggal.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari normal kepada y = x² + 1 pada x = 1, dalam bentuk ax + by + c = 0.
Lihat jawapan
y = 1 + 1 = 2, jadi titiknya (1, 2). dy/dx = 2x, maka kecerunan tangen 2 dan kecerunan normal −1/2.
y − 2 = −(1/2)(x − 1). Darab dengan 2: 2y − 4 = −x + 1, jadi x + 2y − 5 = 0. Semak: 1 + 4 − 5 = 0. ✓
2. Cari normal kepada y = 8/x pada titik di mana x = 2, dalam bentuk y = mx + c.
Lihat jawapan
y = 8/2 = 4, jadi titiknya (2, 4). Tulis y = 8x⁻¹, maka dy/dx = −8/x² dan kecerunan tangen ialah −8/4 = −2. Kecerunan normal ialah 1/2.
y − 4 = (1/2)(x − 2), jadi y = x/2 + 3. Semak: 2/2 + 3 = 4. ✓
3. Satu tangen mempunyai kecerunan −3/4. Apakah kecerunan normal pada titik yang sama?
Lihat jawapan
Terbalikkan −3/4 untuk mendapat −4/3, kemudian tukar tanda: 4/3. Semak: (−3/4) × (4/3) = −1. ✓
Langkah seterusnya
Setelah tangen dan normal mantap, teruskan dengan menggunakan terbitan sebagai kadar perubahan, kemudian cuba set latihan campuran. Latihan pengiraan tanpa kalkulator berguna untuk melatih pecahan salingan, dan penjelajah struktur kuadratik menunjukkan parabola bersama tangen dan normalnya.
Jika anda faham peraturannya tetapi masih tersilap tanda apabila masa terhad, ada baiknya seseorang memerhatikan kerja anda secara langsung. Itulah yang dilakukan guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.