Terbitan mengukur sejauh mana cepatnya satu kuantiti berubah berbanding kuantiti lain. Apabila soalan memberi y dalam sebutan t, dy/dt ialah kadar perubahan y terhadap masa, dan nilainya pada t yang dipilih memberitahu anda sepantas mana y berubah pada ketika itu.
Pelajaran ini mengikuti pembentukan normal dalam modul tangen, normal dan kadar, dan menggunakan petua daripada teknik pembezaan.
Bagaimana menukar soalan kadar kepada kalkulus?
- Kenal pasti kuantiti yang berubah, contohnya isi padu V.
- Kenal pasti pemboleh ubah yang menjadi puncanya, biasanya masa t.
- Bezakan V terhadap t untuk mendapat dV/dt.
- Gantikan masa yang diberi ke dalam dV/dt.
- Tulis unit dan satu ayat ringkas jika soalan meminta tafsiran.
Frasa “pada ketika” atau “pada masa t = 5” menunjukkan nilai terbitan. Frasa “antara t = 0 dan t = 5” menunjukkan purata, yang menggunakan perbezaan.
Contoh berlangkah
Air mengalir ke dalam sebuah tangki. Selepas t minit, isi padu ialah V = 40t − t² liter, untuk 0 ≤ t ≤ 20. Cari kadar isi padu bertambah apabila t = 5, dan bandingkan dengan kadar purata dalam 5 minit pertama.
Langkah 1, bezakan: dV/dt = 40 − 2t.
Langkah 2, ganti t = 5: dV/dt = 40 − 10 = 30.
Isi padu bertambah pada 30 liter seminit apabila t = 5.
Langkah 3, kadar purata: V(0) = 0 dan V(5) = 200 − 25 = 175. Kadar purata = 175 ÷ 5 = 35 liter seminit.
Purata (35) lebih besar daripada kadar pada t = 5 (30) kerana tangki terisi lebih perlahan apabila masa berlalu.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah membahagi V dengan t dan menamakannya kadar pada satu saat.
Kerja yang salah: V(5) = 175, jadi kadarnya 175 ÷ 5 = 35 liter seminit.
Ini ialah kadar purata sepanjang 5 minit, bukan kadar pada t = 5.
Pembetulannya ialah bertanya “pada satu saat atau sepanjang satu tempoh?” sebelum bermula. Satu saat bermaksud bezakan dan ganti. Satu tempoh bermaksud tolak nilai dan bahagi dengan masa yang diambil.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Luas tompokan yang merebak ialah A = 3t² + 2t cm² selepas t saat. Cari dA/dt apabila t = 4.
Lihat jawapan
dA/dt = 6t + 2. Pada t = 4: 24 + 2 = 26 cm² per saat.
2. Populasi dimodelkan oleh P = 1000 + 50t − 2t², dengan t dalam tahun. Cari kadar perubahan P apabila t = 10.
Lihat jawapan
dP/dt = 50 − 4t. Pada t = 10: 50 − 40 = 10 setahun. Populasi masih bertambah, tetapi perlahan.
3. Bagi y = t³ − 6t² + 5, cari nilai t apabila kadar perubahan y ialah sifar.
Lihat jawapan
dy/dt = 3t² − 12t = 3t(t − 4). Menyamakannya dengan sifar memberi t = 0 atau t = 4. Semak: 3(0)(−4) = 0 dan 3(4)(0) = 0. ✓
Langkah seterusnya
Dua kuantiti sering berubah serentak, jadi teruskan dengan mengaitkan dua kuantiti yang berubah melalui model kadar berkaitan. Berlatih dalam set latihan campuran. Latihan pengiraan tanpa kalkulator menyokong aritmetik, dan penjelajah struktur kuadratik membantu anda membaca titik pusingan daripada graf.
Jika soalan cerita ialah tempat markah hilang, seorang guru boleh menelusuri kesilapan lalu anda bersama-sama. Tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu kami dibina sekitar pembacaan soalan langkah demi langkah seperti itu.