Tangen ialah garis lurus yang menyentuh lengkung pada satu titik dan mempunyai kecerunan yang sama dengan lengkung di situ. Untuk mencari persamaannya, anda perlu dua perkara: kecerunan daripada dy/dx, dan koordinat y daripada lengkung asal.
Kemahiran ini berada di permulaan tangen, normal dan kadar. Ia bergantung pada petua daripada teknik pembezaan.
Apakah kaedahnya, langkah demi langkah?
- Cari titik. Gantikan x yang diberi ke dalam persamaan lengkung untuk mendapat y.
- Bezakan. Tulis dy/dx bagi lengkung itu.
- Cari kecerunan. Gantikan x yang sama ke dalam dy/dx. Nombor ini ialah m.
- Tulis garis. Guna y − y₁ = m(x − x₁) dengan titik daripada langkah 1.
- Kemaskan ke dalam bentuk yang diminta, dan semak bahawa titik itu padan dengan persamaan akhir anda.
Semakan terakhir hanya mengambil lima saat. Gantikan x semula dan pastikan anda mendapat y yang sama.
Contoh berlangkah
Cari persamaan tangen kepada y = x³ − 4x + 1 pada titik di mana x = 2.
Langkah 1, titik: y = 2³ − 4(2) + 1 = 8 − 8 + 1 = 1. Titiknya ialah (2, 1).
Langkah 2, bezakan: dy/dx = 3x² − 4.
Langkah 3, kecerunan: pada x = 2, m = 3(4) − 4 = 8.
Langkah 4, garis: y − 1 = 8(x − 2), maka y = 8x − 16 + 1 = 8x − 15.
Langkah 5, semak: apabila x = 2, 8(2) − 15 = 1. ✓
Tangen ialah y = 8x − 15.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menggunakan penggantian yang salah: memasukkan x = 2 ke dalam lengkung dan menganggap jawapannya sebagai kecerunan.
Kerja yang salah: y = 1 pada x = 2, jadi m = 1 dan tangen ialah y − 1 = 1(x − 2), memberi y = x − 1.
Nilai 1 ialah ketinggian lengkung, bukan kecuramannya. Kecuraman hanya datang daripada dy/dx.
Pembetulannya ialah tabiat dua lajur. Tulis label “titik” dan “kecerunan”, isi yang pertama daripada lengkung dan yang kedua daripada terbitan. Dengan itu anda nampak nombor mana milik yang mana.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari tangen kepada y = x² − 3x + 5 pada x = 4.
Lihat jawapan
y = 16 − 12 + 5 = 9, jadi titiknya (4, 9). dy/dx = 2x − 3, maka m = 2(4) − 3 = 5.
y − 9 = 5(x − 4), jadi y = 5x − 11. Semak: 5(4) − 11 = 9. ✓
2. Cari tangen kepada y = 2x³ pada x = −1.
Lihat jawapan
y = 2(−1)³ = −2, jadi titiknya (−1, −2). dy/dx = 6x², maka m = 6.
y + 2 = 6(x + 1), jadi y = 6x + 4. Semak: 6(−1) + 4 = −2. ✓
3. Cari tangen kepada y = √x pada x = 9, dalam bentuk ax + by + c = 0.
Lihat jawapan
y = √9 = 3, jadi titiknya (9, 3). Tulis y = x^(1/2), maka dy/dx = 1/(2√x) dan m = 1/6.
y − 3 = (1/6)(x − 9). Darab dengan 6: 6y − 18 = x − 9, jadi x − 6y + 9 = 0. Semak: 9 − 18 + 9 = 0. ✓
Langkah seterusnya
Kecerunan yang sama memberi garis serenjang, jadi teruskan dengan membentuk normal menggunakan tanda salingan yang betul. Apabila mahu soalan campuran, guna set latihan tangen, normal dan kadar. Latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu dengan aritmetik pecahan dalam kecerunan, dan penjelajah struktur kuadratik membolehkan anda melihat lengkung dan tangennya bersebelahan.
Sesetengah pelajar boleh melakukan setiap langkah pada contoh yang bersih tetapi hilang arah apabila lengkung mempunyai punca kuasa dua atau pecahan. Itulah corak yang guru kami boleh kesan dengan cepat dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.