Untuk mencari tempat garis bertemu bulatan, gantikan persamaan garis ke dalam persamaan bulatan, selesaikan kuadratik, kemudian masukkan setiap jawapan ke dalam garis untuk mencari koordinat yang satu lagi. Diskriminan kuadratik itu memberitahu sama ada terdapat dua titik, satu titik atau tiada.
Kemahiran ini terletak dalam kaedah koordinat bulatan dan mengikut corak yang sama seperti persamaan serentak dalam model serentak linear dan tak linear. Ia membawa terus kepada tangen dalam pelajaran seterusnya.
Mengapakah penggantian memberi kuadratik?
Titik pada kedua-dua graf memenuhi kedua-dua persamaan serentak. Garis membolehkan anda menulis y dalam sebutan x, dan bulatan mengandungi x² dan y². Menggantikan y dengan ungkapan dalam x menghasilkan sebutan x², maka anda sentiasa mendapat kuadratik dalam x.
Kuadratik mempunyai paling banyak dua punca, itulah sebabnya garis bertemu bulatan paling banyak dua kali.
Bagaimanakah caranya, langkah demi langkah?
- Tulis garis dengan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus, seperti y = x + 2.
- Gantikan ke dalam bulatan, dengan kurungan di sekeliling keseluruhan ungkapan.
- Kembangkan dengan teliti, termasuk sebutan tengah bagi sebarang kurungan kuasa dua.
- Kumpulkan sebutan ke dalam bentuk ax² + bx + c = 0 dan permudahkan dengan faktor sepunya.
- Selesaikan dengan pemfaktoran atau rumus, dan guna diskriminan jika hanya bilangan titik diperlukan.
- Cari koordinat kedua setiap titik daripada garis, kemudian semak dalam bulatan.
Contoh berlangkah
Bulatan ialah x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0 dan garis ialah y = x + 2. Cari titik persilangan dan panjang perentas (chord).
Langkah 1, gantikan: x² + (x + 2)² − 2x − 4(x + 2) − 20 = 0.
Langkah 2, kembangkan: x² + x² + 4x + 4 − 2x − 4x − 8 − 20 = 0.
Langkah 3, kumpulkan: 2x² − 2x − 24 = 0, maka x² − x − 12 = 0.
Langkah 4, selesaikan: (x − 4)(x + 3) = 0, maka x = 4 atau x = −3.
Langkah 5, cari y daripada garis: x = 4 memberi y = 6, dan x = −3 memberi y = −1. Titiknya ialah (4, 6) dan (−3, −1).
Langkah 6, panjang perentas: √(7² + 7²) = √98 = 7√2.
Semakan: pada (4, 6): 16 + 36 − 8 − 24 − 20 = 0 ✓. Pada (−3, −1): 9 + 1 + 6 + 4 − 20 = 0 ✓.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan paling kerap ialah mengembangkan (x + 2)² dengan salah.
Penyelesaian yang salah: x² + (x + 2)² menjadi x² + x² + 4
Pelajar menguasaduakan setiap sebutan secara berasingan dan kehilangan sebutan tengah 4x.
Pembetulannya ialah menulis (x + 2)(x + 2) sepenuhnya: x² + 2x + 2x + 4 = x² + 4x + 4. Dengan sebutan tengah dikekalkan, kuadratik keluar dengan betul, dan dalam contoh ini ia boleh difaktorkan dengan kemas. Kuadratik yang enggan difaktorkan selalunya petanda ada sebutan yang hilang.
Semak sendiri
1. Cari titik di mana y = 3x bertemu x² + y² = 10.
Lihat jawapan
x² + 9x² = 10, maka x² = 1 dan x = ±1. Kemudian y = 3x memberi y = ±3.
Titik (1, 3) dan (−1, −3).
2. Tunjukkan bahawa y = x + 6 tidak bertemu x² + y² = 8.
Lihat jawapan
x² + (x + 6)² = 8 memberi 2x² + 12x + 28 = 0, maka x² + 6x + 14 = 0. Diskriminan ialah 36 − 56 = −20, iaitu negatif, maka tiada persilangan.
3. Cari titik di mana x + y = 3 bertemu x² + y² = 5.
Lihat jawapan
y = 3 − x, maka x² + (3 − x)² = 5, yang memberi 2x² − 6x + 4 = 0 dan x² − 3x + 2 = 0. Kemudian x = 1 atau x = 2.
Titik (1, 2) dan (2, 1). Semakan: 1 + 4 = 5 dan 4 + 1 = 5. ✓
Ke mana selepas ini
Apabila penggantian sudah boleh dipercayai, teruskan ke menggunakan tangen yang berserenjang dengan jejari, kemudian uji topik dengan set latihan bulatan. Penjelajah persilangan garis dan bulatan menunjukkan dua, satu atau sifar persilangan apabila anda menggerakkan garis, dan pelatih kerja tanpa kalkulator membantu aritmetik tepat.
Sesetengah pelajar boleh mengulang contoh ini tetapi tidak tahu pemboleh ubah mana hendak digantikan apabila garis kelihatan berbeza. Guru boleh mengesan titik keputusan itu dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.