Untuk menulis persamaan bulatan daripada syarat geometri, cari pusat dan jejari dahulu, kemudian tulis (x − a)² + (y − b)² = r². Setiap syarat, sama ada diameter, paksi yang disentuh atau jarak yang sama, ialah cara untuk memberitahu anda dua perkara itu.
Pelajaran ini melengkapkan kaedah koordinat bulatan dengan membalikkan arah pelajaran terdahulu. Anda bermula dengan penerangan dan membina persamaan, seperti mencari pusat dan jejari yang dibaca secara terbalik.
Syarat manakah memberi pusat dan jejari?
| Syarat | Pusat | Jejari |
|---|---|---|
| Diameter dengan hujung A dan B | Titik tengah AB | Separuh panjang AB |
| Pusat (a, b) menyentuh paksi-x | (a, b) | |b| |
| Pusat (a, b) menyentuh paksi-y | (a, b) | |a| |
| Melalui dua titik, pusat pada garis tertentu | Tempat garis itu bertemu pembahagi dua sama serenjang | Jarak ke mana-mana titik |
Bagaimanakah caranya, langkah demi langkah?
- Lukis lakaran titik dan syarat itu.
- Cari pusat dengan titik tengah, atau dengan menyamakan jarak.
- Cari r atau r² sebagai jarak dari pusat ke satu titik pada bulatan.
- Tulis persamaan dalam bentuk kurungan.
- Semak setiap titik yang diberi dalam persamaan.
Contoh berlangkah 1: diameter
Sebuah bulatan mempunyai diameter dengan hujung A(1, 2) dan B(7, 10). Cari persamaannya.
Langkah 1, pusat: titik tengah ialah ((1 + 7) ÷ 2, (2 + 10) ÷ 2) = (4, 6).
Langkah 2, jejari: AB = √(6² + 8²) = √100 = 10, maka r = 5.
Langkah 3, persamaan: (x − 4)² + (y − 6)² = 25.
Semakan: A memberi 9 + 16 = 25 ✓ dan B memberi 9 + 16 = 25 ✓. Apabila dikembangkan, persamaannya x² + y² − 8x − 12y + 27 = 0.
Contoh berlangkah 2: jarak yang sama
Sebuah bulatan berpusat pada paksi-x dan melalui (1, 3) dan (5, 1). Cari persamaannya.
Langkah 1, pusat: andaikan pusat ialah (h, 0). Jarak ke kedua-dua titik sama, maka (1 − h)² + 3² = (5 − h)² + 1².
Langkah 2, kembangkan: 1 − 2h + h² + 9 = 25 − 10h + h² + 1.
Langkah 3, selesaikan: 10 − 2h = 26 − 10h, maka 8h = 16 dan h = 2.
Langkah 4, jejari kuasa dua: (1 − 2)² + 3² = 10.
Langkah 5, persamaan: (x − 2)² + y² = 10.
Semakan: (5, 1) memberi (5 − 2)² + 1 = 10 ✓.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menganggap panjang diameter sebagai jejari.
Jawapan yang salah (contoh 1): (x − 4)² + (y − 6)² = 100
Pelajar menggunakan AB = 10 sebagai r, maka r² = 100. Diameter ialah dua kali jejari.
Pembetulannya ialah menyeparuhkan diameter sebelum menguasaduakan. Semakan pantas ialah menggantikan A: jika sebelah kiri tidak sama dengan sebelah kanan, jejarinya salah. Di sini 9 + 16 = 25, bukan 100.
Semak sendiri
1. Sebuah bulatan berpusat (2, −3) dan menyentuh paksi-y. Tulis persamaannya.
Lihat jawapan
Jarak dari pusat ke paksi-y ialah |2| = 2, maka r = 2.
(x − 2)² + (y + 3)² = 4
2. Sebuah bulatan mempunyai diameter dari (−2, 1) ke (4, 5). Cari persamaannya.
Lihat jawapan
Pusat: (1, 3). AB² = 6² + 4² = 52, maka r = √52 ÷ 2 dan r² = 13.
(x − 1)² + (y − 3)² = 13. Semakan: (−2, 1) memberi 9 + 4 = 13. ✓
3. Sebuah bulatan berpusat pada paksi-x melalui (1, 3) dan (5, 1). Sahkan persamaan daripada contoh 2 dengan menggunakan titik (1, 3).
Lihat jawapan
(1 − 2)² + 3² = 1 + 9 = 10, yang sama dengan r². Maka (x − 2)² + y² = 10 melalui (1, 3). ✓
Ke mana selepas ini
Sekarang gabungkan kelima-lima kemahiran dalam set latihan bulatan. Penjelajah persilangan garis dan bulatan dan pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk menyemak keputusan anda.
Jika anda boleh mengikut contoh tetapi teragak-agak tentang syarat mana memberi fakta mana, jurangnya biasanya soal perancangan, dan guru boleh mengusahakannya dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.