Modul ini membincangkan pertemuan geometri koordinat dan algebra pada sebuah bulatan: membaca pusat dan jejari daripada persamaan, mencari tempat garis memotong bulatan, melukis tangen, mencari parameter yang menjadikan garis menyentuh bulatan, dan menulis persamaan daripada penerangan geometri. Satu idea merentasi semuanya: bulatan ialah semua titik pada jarak tetap r dari pusatnya, jadi setiap kaedah bermula daripada jarak itu.
Semak sukatan pelajaran Additional Mathematics 0606 Cambridge yang terkini untuk kandungan dan tatatanda tepat bagi tahun peperiksaan anda, kerana sempadan antara topik boleh berubah. Panduan pembelajaran Matematik Tambahan kami menunjukkan kedudukan modul ini antara modul lain.
Apakah yang perlu anda tahu dahulu?
Anda perlu tahu melengkapkan kuasa dua (completing the square), menyelesaikan persamaan kuadratik dan menggunakan diskriminan (discriminant), serta mencari garis melalui satu titik dengan kecerunan tertentu. Jika mana-mana terasa perlahan, ulang kaji struktur kuadratik dan diskriminan dan garis lurus serta pelinearan dahulu. Persamaan serentak daripada model serentak linear dan tak linear ialah enjin di sebalik kebanyakan soalan bulatan.
Satu contoh orientasi
Bulatan C mempunyai persamaan x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0. Cari pusat dan jejarinya, kemudian cari tangen pada titik P(5, 7).
Langkah 1, lengkapkan kuasa dua: (x − 2)² − 4 + (y − 3)² − 9 − 12 = 0, maka (x − 2)² + (y − 3)² = 25.
Langkah 2, baca: pusat (2, 3) dan jejari 5.
Langkah 3, semak P pada bulatan: (5 − 2)² + (7 − 3)² = 9 + 16 = 25. ✓
Langkah 4, kecerunan jejari: daripada (2, 3) ke (5, 7), kecerunannya 4/3.
Langkah 5, kecerunan tangen: tangen berserenjang dengan jejari, maka kecerunannya −3/4.
Langkah 6, persamaan: y − 7 = −3/4 (x − 5), iaitu 4y − 28 = −3x + 15, maka 3x + 4y = 43.
Semakan: jarak dari (2, 3) ke garis ialah |6 + 12 − 43| ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5, sama dengan jejari. ✓
Dua kemahiran berasingan membuat kerja di sini: melengkapkan kuasa dua dan menggunakan kecerunan serenjang. Pelajaran di bawah mengajar setiap satu secara berasingan sebelum digabungkan.
Dalam susunan apakah anda patut belajar?
- Cari pusat dan jejari dengan melengkapkan kuasa dua: titik mula untuk semua kemahiran lain, kerana anda tidak boleh menggunakan bulatan yang tidak dapat dibaca.
- Cari persilangan garis dan bulatan: penggantian menukar soalan kepada kuadratik, dan diskriminan mengira bilangan titik.
- Gunakan tangen yang berserenjang dengan jejari: memperkenalkan kecerunan dan fakta bahawa tangen bertemu jejari pada sudut tegak.
- Selesaikan syarat parameter untuk tangen: menggabungkan pelajaran kedua dan ketiga, dengan mencari nilai k yang memberi tepat satu titik.
- Terjemahkan syarat geometri kepada persamaan bulatan: bergerak ke arah bertentangan, membina persamaan daripada diameter, paksi yang disentuh atau jarak yang sama.
Kemudian selesaikan set latihan campuran. Satu pelajaran sehari dan set latihan pada hujung minggu ialah rentak yang stabil.
Perangkap apakah yang menjerat kebanyakan pelajar?
- Mengambil pusat dengan tanda yang salah, seperti (−3, 2) bagi (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
- Menulis r² sebagai jejari, sehingga bulatan dengan r² = 25 dilukis berjejari 25.
- Mengembangkan (x + 2)² sebagai x² + 4 dan kehilangan sebutan tengah ketika menggantikan garis.
- Menggunakan kecerunan jejari sebagai kecerunan tangen, lupa menterbalikkan dan menafikan.
- Menetapkan diskriminan lebih besar daripada sifar walhal tangen memerlukannya sama dengan sifar.
- Berhenti pada satu nilai k walhal syaratnya mempunyai penyelesaian positif dan negatif.
Setiap pelajaran menunjukkan satu kesilapan ini sepenuhnya, kemudian membetulkannya.
Bagaimanakah anda patut menggunakan set latihan?
Cuba setiap soalan di atas kertas dahulu, dan lukis lakaran kasar dengan pusat dan jejari ditanda sebelum mengira. Kemudian buka jawapan berlangkah dan bandingkan kaedah serta nilai akhir. Gunakan pelatih kerja tanpa kalkulator untuk melatih aritmetik tepat dengan surd dan pecahan, dan penjelajah struktur kuadratik untuk menyemak diskriminan kuadratik yang muncul selepas penggantian.
Apabila anda tersilap, baca jadual penghalaan di hujung set latihan dan kembali ke pelajaran yang dinamakan. Penjelajah persilangan garis dan bulatan membolehkan anda menggerakkan garis merentasi bulatan dan melihat bilangan titik persilangan berubah. Simpan rekod dalam log kesilapan dan baris ujian semula, dan cuba soalan baharu beberapa hari kemudian.
Jika kemajuan anda terhenti pada tabiat yang sama, guru boleh melihat penyelesaian bertulis anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.