Untuk mencari pusat dan jejari bulatan yang ditulis dalam bentuk terkembang, lengkapkan kuasa dua secara berasingan untuk x dan untuk y. Hasilnya berbentuk (x − a)² + (y − b)² = r², dengan (a, b) ialah pusat dan r ialah jejari.
Kemahiran ini membuka kaedah koordinat bulatan kerana setiap pelajaran seterusnya memerlukan pusat dan jejari. Soalan peperiksaan sering memberi x² + y² + (sebutan lain) = 0 dan terus meminta kedua-duanya.
Mengapakah melengkapkan kuasa dua berfungsi di sini?
Bulatan berpusat (a, b) dan berjejari r mempunyai persamaan (x − a)² + (y − b)² = r². Ini datang daripada rumus jarak: titik (x, y) berada pada bulatan apabila jaraknya dari (a, b) sama dengan r, dan menguasaduakan membuang punca kuasa dua.
Pengembangan memberi x² + y² − 2ax − 2by + a² + b² − r² = 0. Maka persamaan terkembang ialah bulatan yang sama dengan kurungan yang telah didarabkan. Melengkapkan kuasa dua meletakkan semula kurungan itu.
Bagaimanakah caranya, langkah demi langkah?
- Semak pekali x² dan y² kedua-duanya 1. Jika tidak, bahagikan seluruh persamaan.
- Kumpulkan sebutan x bersama dan sebutan y bersama, dan pindahkan pemalar ke kanan jika anda mahu.
- Separuhkan pekali x, kuasa duakannya dan tambah pada kedua-dua belah. Lakukan yang sama untuk y.
- Tulis setiap kumpulan sebagai kurungan kuasa dua. Tanda dalam kurungan sama dengan tanda sebutan linear.
- Baca pusat dengan tanda bertentangan daripada kurungan, dan baca r sebagai punca kuasa dua sebelah kanan.
Contoh berlangkah
Cari pusat dan jejari bagi x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
Langkah 1, kumpulkan: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12.
Langkah 2, lengkapkan setiap kuasa dua: separuh daripada −6 ialah −3, dan (−3)² = 9. Separuh daripada 4 ialah 2, dan 2² = 4. Tambah 9 dan 4 pada kedua-dua belah.
(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4
Langkah 3, bentuk kurungan: (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
Langkah 4, baca: pusat (3, −2) dan r² = 25, maka jejari ialah 5.
Semakan: jalan pintas memberi pusat (−g, −f) dengan 2g = −6 dan 2f = 4, maka g = −3, f = 2 dan pusat (3, −2). Juga r² = 9 + 4 + 12 = 25. ✓
Kesilapan yang perlu diawasi
Dua kesilapan berulang: membaca pusat dengan tanda yang salah, dan menulis r² sebagai jejari.
Jawapan yang salah: pusat (−3, 2), jejari 25
Pelajar menyalin tanda dari dalam kurungan dan terlupa bahawa (x − 3) bermaksud koordinat x pusat ialah 3 yang positif. Dia juga berhenti pada 25 dan tidak mengambil punca kuasa dua.
Pembetulannya ialah menyelesaikan “x − 3 = 0” dan “y + 2 = 0” untuk mencari pusat: x = 3 dan y = −2. Kemudian sentiasa tanya sama ada nombor di sebelah kanan ialah r² atau r. Selepas melengkapkan kuasa dua, ia ialah r².
Semak sendiri
1. Cari pusat dan jejari bagi x² + y² + 8x − 10y + 16 = 0.
Lihat jawapan
(x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = −16 + 16 + 25, maka (x + 4)² + (y − 5)² = 25.
Pusat (−4, 5), jejari 5.
2. Cari pusat dan jejari bagi 2x² + 2y² − 4x + 8y − 8 = 0.
Lihat jawapan
Bahagi dengan 2: x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0. Kemudian (x − 1)² + (y + 2)² = 4 + 1 + 4 = 9.
Pusat (1, −2), jejari 3.
3. Terangkan mengapa x² + y² + 4x − 2y + 9 = 0 bukan bulatan.
Lihat jawapan
Melengkapkan kuasa dua memberi (x + 2)² + (y − 1)² = −9 + 4 + 1 = −4. Hasil tambah kuasa dua tidak boleh sama dengan nombor negatif, maka tiada bulatan nyata wujud.
Ke mana selepas ini
Apabila membaca bulatan sudah menjadi automatik, teruskan ke mencari persilangan garis dan bulatan, kemudian uji seluruh topik dengan set latihan bulatan. Pelatih kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik sama-sama menyokong langkah melengkapkan kuasa dua.
Pelajar yang mengikut contoh ini tetapi kaku pada persamaan baharu selalunya tidak pasti di mana hendak bermula, bukan tidak mampu membuat algebra. Itulah tabiat yang kami teliti dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.