Dua belas soalan ini asli dan disusun daripada mudah kepada lebih sukar. Ia merangkumi membaca bulatan, melengkapkan kuasa dua, persilangan, tangen, syarat tangen dan membina persamaan. Cuba setiap soalan di atas kertas dahulu, kemudian buka jawapan berlangkah.
Lukis lakaran pantas untuk setiap soalan. Semak tatatanda dan peraturan kalkulator bagi tahun peperiksaan anda di laman sukatan pelajaran Cambridge. Mulakan daripada gambaran keseluruhan modul jika anda memerlukan susunan belajar.
Pemanas badan: membaca dan melengkapkan
1. Tulis pusat dan jejari bagi (x − 3)² + (y + 5)² = 49.
Lihat jawapan
Pusat mempunyai x = 3 dan y = −5, dan r² = 49.
Pusat (3, −5), jejari 7.
2. Cari pusat dan jejari bagi x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0.
Lihat jawapan
(x² − 10x + 25) + (y² + 4y + 4) = −13 + 25 + 4, maka (x − 5)² + (y + 2)² = 16.
Pusat (5, −2), jejari 4.
3. Cari pusat dan jejari bagi 3x² + 3y² + 6x − 12y − 12 = 0.
Lihat jawapan
Bahagi dengan 3: x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0. Kemudian (x + 1)² + (y − 2)² = 4 + 1 + 4 = 9.
Pusat (−1, 2), jejari 3.
4. Terangkan mengapa x² + y² − 6x + 2y + 15 = 0 bukan persamaan bulatan.
Lihat jawapan
(x − 3)² + (y + 1)² = −15 + 9 + 1 = −5. Hasil tambah dua kuasa dua tidak boleh negatif, maka tiada bulatan wujud.
Teras: persilangan dan tangen
5. Cari titik di mana garis y = x + 2 bertemu bulatan x² + y² = 20.
Lihat jawapan
x² + (x + 2)² = 20 memberi 2x² + 4x − 16 = 0, maka x² + 2x − 8 = 0 dan (x + 4)(x − 2) = 0. Kemudian x = 2 atau x = −4.
Daripada y = x + 2: y = 4 atau y = −2.
Titik (2, 4) dan (−4, −2). Semakan: 4 + 16 = 20 ✓ dan 16 + 4 = 20 ✓.
6. Garis y = 2x + 8 dan bulatan x² + y² = 16 dilukis. Gunakan diskriminan untuk menunjukkan garis memotong bulatan dua kali, kemudian cari titik-titiknya.
Lihat jawapan
x² + (2x + 8)² = 16 memberi 5x² + 32x + 48 = 0.
Diskriminan: 32² − 4 × 5 × 48 = 1024 − 960 = 64, iaitu positif, maka terdapat dua titik.
x = (−32 ± 8) ÷ 10, maka x = −2.4 atau x = −4. Kemudian y = 2(−2.4) + 8 = 3.2 dan y = 2(−4) + 8 = 0.
Titik (−2.4, 3.2) dan (−4, 0). Semakan: 5.76 + 10.24 = 16 ✓ dan 16 + 0 = 16 ✓.
7. Cari persamaan tangen kepada (x − 1)² + (y + 1)² = 13 pada titik (3, 2).
Lihat jawapan
Semakan titik: 2² + 3² = 13 ✓. Kecerunan jejari dari (1, −1) ke (3, 2) ialah 3/2, maka kecerunan tangen ialah −2/3.
y − 2 = −2/3 (x − 3), maka 3y − 6 = −2x + 6.
2x + 3y = 12. Semakan: 6 + 6 = 12. ✓
8. Bulatan x² + y² − 6x − 8y = 0 melalui asalan. Cari persamaan tangen pada asalan.
Lihat jawapan
Melengkapkan kuasa dua: (x − 3)² + (y − 4)² = 25, maka pusat ialah (3, 4). Kecerunan jejari dari pusat ke (0, 0) ialah 4/3, maka kecerunan tangen ialah −3/4.
Garis melalui asalan, maka y = −3/4 x, iaitu 3x + 4y = 0.
Semakan: jarak dari (3, 4) ke garis ialah |9 + 16| ÷ 5 = 5, sama dengan jejari. ✓
Cabaran: parameter dan pembinaan
9. Cari nilai k supaya y = 3x + k ialah tangen kepada x² + y² = 10.
Lihat jawapan
x² + (3x + k)² = 10 memberi 10x² + 6kx + k² − 10 = 0.
Diskriminan: 36k² − 40(k² − 10) = 400 − 4k². Tetapkan kepada 0: k² = 100.
k = 10 atau k = −10. Semakan: |k| ÷ √10 = √10 memberi |k| = 10. ✓
10. Garis y = 2x + k dan bulatan (x − 1)² + y² = 5 diberi. Cari nilai k supaya garis ialah tangen, dan nyatakan julat k bagi garis memotong bulatan dua kali.
Lihat jawapan
(x − 1)² + (2x + k)² = 5 memberi 5x² + (4k − 2)x + k² − 4 = 0.
Diskriminan: (4k − 2)² − 20(k² − 4) = 16k² − 16k + 4 − 20k² + 80 = −4k² − 16k + 84.
Tetapkan kepada 0: k² + 4k − 21 = 0, maka (k + 7)(k − 3) = 0 dan k = 3 atau k = −7.
Untuk dua titik, diskriminan positif, maka k² + 4k − 21 < 0, yang memberi −7 < k < 3.
Semak k = 0: diskriminan 84 > 0 ✓.
11. Tulis persamaan bulatan berdiameter PQ, dengan P ialah (−3, 2) dan Q ialah (5, −4).
Lihat jawapan
Pusat (titik tengah): (1, −1). PQ² = 8² + 6² = 100, maka PQ = 10 dan r = 5.
(x − 1)² + (y + 1)² = 25. Semakan: P memberi 16 + 9 = 25 ✓ dan Q memberi 16 + 9 = 25 ✓.
12. Sebuah bulatan melalui O(0, 0), A(8, 0) dan B(0, 6). Cari persamaannya, pusatnya dan jejarinya, dan terangkan mengapa AB ialah diameter.
Lihat jawapan
Andaikan persamaannya x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Oleh sebab O berada pada bulatan, F = 0.
A: 64 + 8D = 0, maka D = −8. B: 36 + 6E = 0, maka E = −6.
x² + y² − 8x − 6y = 0 menjadi (x − 4)² + (y − 3)² = 25. Pusat (4, 3), jejari 5.
Panjang AB ialah √(64 + 36) = 10, iaitu dua kali jejari. Titik tengah AB ialah (4, 3), iaitu pusat, maka AB ialah diameter. Ini selaras dengan sudut tegak pada O.
Jika anda tersilap
| Apa yang tidak kena | Kembali ke |
|---|---|
| Tanda pusat salah, atau r² ditulis sebagai r (soalan 1 hingga 4) | Cari pusat dan jejari dengan melengkapkan kuasa dua |
| Kehilangan sebutan ketika mengembangkan kurungan, atau koordinat kedua salah (5, 6) | Cari persilangan garis dan bulatan |
| Menggunakan kecerunan jejari sebagai kecerunan tangen (7, 8) | Gunakan tangen yang berserenjang dengan jejari |
| Berhenti pada satu nilai k, atau menggunakan lebih besar daripada sifar (9, 10) | Selesaikan syarat parameter untuk tangen |
| Menggunakan diameter sebagai jejari, atau tidak dapat mencari pusat (11, 12) | Terjemahkan syarat geometri kepada persamaan bulatan |
Gunakan penjelajah persilangan garis dan bulatan untuk melihat setiap kes persilangan, dan pelatih kerja tanpa kalkulator untuk aritmetik tepat. Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dan baris ujian semula dan cuba soalan yang serupa selepas beberapa hari.
Jika soalan 9 hingga 12 ialah tempat kemajuan anda perlahan, jurangnya biasanya memilih rancangan dan bukan melakukan algebra. Guru boleh melatih perkara itu bersama anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.