Dua keputusan asas meliputi pelajaran ini: d/dx bagi ex ialah ex, dan d/dx bagi ln x ialah 1/x. Jika bahagian dalam lebih daripada x sahaja, tambah petua rantai: d/dx bagi ef(x) ialah f′(x)ef(x), dan d/dx bagi ln f(x) ialah f′(x)/f(x).
Sahkan pada laman sukatan pelajaran 0606 semasa fungsi logaritma dan eksponen mana yang perlu anda bezakan. Pelajaran ini menganggap ex dan ln x, yang turut muncul dalam penaakulan eksponen dan logaritma.
Bagaimanakah bentuk ini berfungsi dalam amalan?
| y | dy/dx |
|---|---|
| ex | ex |
| ekx | kekx |
| ef(x) | f′(x)ef(x) |
| ln x | 1/x |
| ln(ax + b) | a/(ax + b) |
| ln f(x) | f′(x)/f(x) |
Eksponen mengekalkan bentuknya sendiri, dan bahagian dalam memberikan pendarab. Logaritma bertukar menjadi pecahan dengan terbitan bahagian dalam pada pengangka dan bahagian dalam itu sendiri di bawah.
Contoh berlangkah
Bezakan (a) y = e2x + ln(3x − 1), dan (b) y = x e−x.
(a) Untuk e2x, bahagian dalam ialah 2x, dengan terbitan 2. Jadi terbitannya ialah 2e2x.
Untuk ln(3x − 1), bahagian dalam ialah 3x − 1, dengan terbitan 3. Jadi terbitannya ialah 3/(3x − 1).
dy/dx = 2e2x + 3/(3x − 1).
(b) Ini ialah hasil darab. Biar u = x dan v = e−x. Maka u′ = 1 dan v′ = −e−x.
dy/dx = u′v + uv′ = e−x + x(−e−x) = e−x − xe−x = (1 − x)e−x.
Semakan kewajaran: pada x = 0 kecerunannya ialah 1, dan y = xe−x hampir sama dengan y = x berhampiran asalan, jadi ia sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Jalan pintas yang menggoda ialah menggunakan keputusan “asas” pada seluruh ungkapan dan mengabaikan bahagian dalam.
Penyelesaian yang salah: y = ln(x² + 4) → dy/dx = 1/(x² + 4)
Pelajar menulis “1 per bahagian dalam” dan terlupa terbitan bahagian dalam.
Pengangka mesti ialah terbitan x² + 4, iaitu 2x, jadi jawapan yang betul ialah 2x/(x² + 4).
Satu lagi kesilapan berkaitan ialah menulis e2x → 2x e2x−1. Petua kuasa tidak terpakai pada ex, kerana x berada pada kuasa, bukan pada asas. Terbitan yang betul ialah 2e2x.
Semak sendiri
1. Bezakan y = e5x.
Tunjukkan jawapan
Bahagian dalam ialah 5x dengan terbitan 5, jadi dy/dx = 5e5x.
2. Bezakan y = ln(4x + 1) dan cari kecerunan pada x = 0.
Tunjukkan jawapan
dy/dx = 4/(4x + 1). Pada x = 0: 4/1 = 4.
3. Bezakan y = x²ex, faktorkan, dan cari kecerunan pada x = 1, dengan e dikekalkan dalam jawapan.
Tunjukkan jawapan
Biar u = x² dan v = ex, jadi u′ = 2x dan v′ = ex.
dy/dx = 2xex + x²ex = x(x + 2)ex.
Pada x = 1: 1 × 3 × e = 3e (kira-kira 8.15).
Ke mana selepas ini?
Pelajaran teknik terakhir, menyemak terbitan dengan membandingkan kecerunan setempat, ialah ujian yang baik untuk jawapan yang melibatkan ex dan ln. Penjelajah bentuk dan kadar kalkulus melukis lengkung dan kecerunannya, dan pelatih kerja tanpa kalkulator membantu apabila jawapan dikekalkan dalam sebutan e.
Pelajar biasanya bertemu fungsi ini lewat dan berasa ketinggalan. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh bermula daripada petua yang anda sudah tahu dan menambah yang baharu mengikut kadar anda.