Terbitan memberikan kecerunan lengkung pada satu titik, jadi anda boleh mengujinya pada satu nilai x. Kira apa yang rumus anda katakan pada x itu, kemudian anggarkan kecerunan daripada dua titik berdekatan pada fungsi asal. Jika kedua-dua nombor sepadan rapat, terbitan itu sangat mungkin betul.
Pelajaran ini menyemak kerja daripada kuasa, hasil darab, petua rantai dan bentuk ln dan ex. Ia menggunakan kalkulator, jadi ia ialah tabiat ulang kaji dan bukan kaedah untuk soalan tanpa kalkulator.
Bagaimanakah terbitan disemak pada satu titik?
- Pilih x yang mudah, seperti 1 atau 2, supaya pengiraan ringkas.
- Nilaikan terbitan anda pada x itu.
- Pilih langkah kecil, h = 0.01 sudah memadai.
- Anggarkan kecerunan: (f(x + h) − f(x − h)) / (2h).
- Bandingkan. Kedua-duanya patut sepadan hingga kira-kira tiga angka bererti.
Menggunakan x − h dan x + h, dan bukan x dan x + h, menjadikan anggaran lebih tepat dengan usaha yang sama.
Contoh berlangkah
Seorang pelajar membezakan y = x(2x − 1)³ dan mendapat dy/dx = (2x − 1)²(8x − 1). Semak jawapan pada x = 1.
Langkah 1, nilai rumus: pada x = 1, (2 − 1)² × (8 − 1) = 1 × 7 = 7.
Langkah 2, nilai fungsi dengan h = 0.01:
- f(1.01) = 1.01 × (1.02)³ = 1.01 × 1.061208 = 1.07182008.
- f(0.99) = 0.99 × (0.98)³ = 0.99 × 0.941192 = 0.93178008.
Langkah 3, anggaran: (1.07182008 − 0.93178008) / 0.02 = 0.14004 / 0.02 = 7.002.
Rumus memberikan 7 dan anggaran memberikan 7.002. Keduanya sepadan, jadi terbitan itu lulus.
Kesilapan yang perlu diawasi
Sekarang andaikan pelajar lain terlupa terbitan dalaman dan menulis dy/dx = (2x − 1)³ + 3x(2x − 1)².
Nilai yang salah pada x = 1: 1 + 3 = 4
Anggaran daripada fungsi: 7.002
Jurang kira-kira 3 jauh lebih besar daripada ralat pembundaran, jadi semakan gagal. Ia juga menunjukkan di mana untuk melihat: sebutan kedua sepatutnya mengandungi faktor tambahan 2 daripada terbitan dalaman, menjadi 6x(2x − 1)², yang pada x = 1 ialah 6. Maka 1 + 6 = 7.
Jangan percaya semakan yang sepadan hanya pada x = 0 atau x = 1 apabila rumus anda mengandungi sebutan x. Pada nilai itu, faktor x boleh menyembunyikan kesilapan, jadi uji juga pada x = 2.
Semak sendiri
1. Seorang pelajar berkata terbitan y = √x ialah 1/(2√x). Semak pada x = 4 dengan h = 0.01, diberi √4.01 ≈ 2.00250 dan √3.99 ≈ 1.99750.
Tunjukkan jawapan
Rumus: 1/(2 × 2) = 0.25.
Anggaran: (2.00250 − 1.99750) / 0.02 = 0.00500 / 0.02 = 0.25. Keduanya sepadan, jadi terbitan itu lulus.
2. Semak bahawa terbitan y = x³ pada x = 2 ialah 12, dengan h = 0.1.
Tunjukkan jawapan
f(2.1) = 9.261 dan f(1.9) = 6.859.
Anggaran: (9.261 − 6.859) / 0.2 = 2.402 / 0.2 = 12.01. Ini sepadan dengan 3 × 2² = 12. ✓
3. Seorang pelajar mendakwa terbitan y = ln(x² + 4) ialah 1/(x² + 4). Pada x = 2 dengan h = 0.01, ln(8.0401) − ln(7.9601) ≈ 0.0100. Adakah dakwaan itu lulus?
Tunjukkan jawapan
Nilai rumus: 1/8 = 0.125.
Anggaran: 0.0100 / 0.02 = 0.5.
Ia gagal. Terbitan yang betul ialah 2x/(x² + 4), yang pada x = 2 ialah 4/8 = 0.5, sepadan dengan anggaran.
Ke mana selepas ini?
Kerjakan set latihan teknik pembezaan dan gunakan semakan ini pada beberapa jawapan. Penjelajah bentuk dan kadar kalkulus menunjukkan idea yang sama secara visual, dengan tangen yang boleh anda bandingkan dengan lengkung. Apabila terbitan dipercayai, anda boleh meneruskan ke titik pegun serta tangen dan normal.
Sesetengah pelajar menyemak setiap jawapan dan kehilangan masa, manakala yang lain tidak pernah menyemak. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh membantu anda memutuskan jawapan mana yang wajar disemak. Pelatih kerja tanpa kalkulator meliputi bahagian aritmetik tepat.