Hubungan eksponen seperti y = abˣ ialah lengkung, tetapi mengambil logaritma menukarnya menjadi garis lurus. Setelah menjadi garis, kecerunan dan pintasan pugak memberi anda pemalar a dan b.
Pelajaran ini menggunakan hukum daripada menggabungkan logaritma dan menuju ke kerja garis lurus dalam garis lurus dan pelinearan. Ia berada dalam penaakulan eksponen dan logaritma.
Bagaimana garis lurus itu muncul?
Mulakan dengan y = abˣ dan ambil lg pada kedua-dua belah.
lg y = lg (abˣ) = lg a + lg (bˣ) = lg a + x lg b.
Tulis semula sebagai lg y = (lg b) x + lg a. Bandingkan dengan Y = mX + c:
| Bahagian | Maksud |
|---|---|
| Y | lg y |
| X | x |
| kecerunan m | lg b |
| pintasan c | lg a |
Bagi hubungan kuasa y = axⁿ, idea yang sama memberi lg y = n lg x + lg a. Di sini paksi pugak ialah lg y, paksi mengufuk ialah lg x, kecerunan ialah n dan pintasan ialah lg a.
Langkah membaca pemalar daripada graf log
- Kenal pasti paksi. Apa yang diplot melawan apa?
- Tulis persamaan garis lurus dalam bentuk Y = mX + c menggunakan pemboleh ubah graf itu.
- Cari kecerunan daripada dua titik, dan pintasan daripada garis.
- Padankan dengan teori: kecerunan = lg b, pintasan = lg a.
- Songsangkan log: b = 10kecerunan dan a = 10pintasan.
- Tulis hubungan akhir dan uji dengan salah satu titik yang diberi.
Contoh berlangkah
Graf lg y melawan x ialah garis lurus melalui (1, 1.2) dan (5, 2.8). Pemboleh ubah dihubungkan oleh y = abˣ. Cari a dan b.
Langkah 1, kecerunan: m = (2.8 − 1.2) ÷ (5 − 1) = 1.6 ÷ 4 = 0.4.
Langkah 2, pintasan: menggunakan lg y = 0.4x + c pada (1, 1.2): 1.2 = 0.4 + c, maka c = 0.8.
Langkah 3, padankan dengan teori: lg b = 0.4 dan lg a = 0.8.
Langkah 4, songsangkan log: b = 100.4 = 2.51 dan a = 100.8 = 6.31, kedua-duanya betul kepada 3 angka bererti.
Jawapan: y ≈ 6.31 × 2.51ˣ.
Semak: pada x = 5, lg y = 0.8 + 0.4 × 5 = 2.8, maka y = 102.8 ≈ 631. Pemalar yang dibundarkan memberi 6.31 × 2.51⁵ ≈ 629, yang sepadan dalam had pembundaran. ✓
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan biasa ialah membaca pintasan sebagai a itu sendiri, bukan lg a.
Jawapan yang salah: a = 0.8 dan b = 0.4.
Pelajar menyalin kecerunan dan pintasan terus sebagai pemalar.
Pembetulannya ialah nombor pada graf itu ialah log bagi pemalar. Pintasan 0.8 ialah lg a, maka a = 100.8 = 6.31.
Kecerunan 0.4 ialah lg b, maka b = 100.4 = 2.51. Ujian dengan x = 0 menunjukkan isunya: persamaan asal memberi y = a, jadi jika a ialah 0.8, lg y akan menjadi lg 0.8 yang negatif. Graf menunjukkan lg y = 0.8 pada x = 0, maka y = 6.31.
Semak kendiri
1. Bagi y = 2 × 5ˣ, graf lg y melawan x dilukis. Nyatakan kecerunan dan pintasan betul kepada 3 tempat perpuluhan.
Tunjukkan jawapan
lg y = lg 2 + x lg 5. Kecerunan ialah lg 5 = 0.699 dan pintasan ialah lg 2 = 0.301.
2. Graf lg y melawan lg x ialah garis lurus melalui (0, 1) dan (2, 4). Cari hubungan dalam bentuk y = axⁿ.
Tunjukkan jawapan
Kecerunan = (4 − 1) ÷ (2 − 0) = 1.5, maka n = 1.5. Pintasan = 1, jadi lg a = 1 dan a = 10.
Maka y = 10x1.5. Semak: lg x = 2 memberi x = 100, dan 10 × 1001.5 = 10 × 1000 = 10 000, yang lg-nya 4. ✓
3. Graf ln y melawan x mempunyai kecerunan 0.3 dan pintasan 2. Hubungannya ialah y = Aekx. Cari A dan k.
Tunjukkan jawapan
ln y = ln A + kx, maka k = 0.3 dan ln A = 2. Kemudian A = e² = 7.389. Jadi y = 7.39e0.3x (A betul kepada 3 angka bererti).
Ke mana selepas ini?
Model pertumbuhan eksponen datang daripada persamaan seperti ini, maka pelajaran seterusnya membezakan pemalar pertumbuhan daripada peratusan pertumbuhan. Apabila sedia, cuba set latihan campuran.
Jika anda faham algebra tetapi teragak-agak tentang nombor yang mana satu apabila membaca graf, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh melatih langkah itu dengan lakaran anda sendiri.