把指数关系线性化

指数关系 y = abˣ 是一条曲线，但取对数就能把它变成直线。变成直线之后，斜率和纵截距就给出常数 a 和 b。

这一课用到合并对数的法则，并通向直线与线性化中的直线内容。它属于指数与对数推理模块。

直线是怎么出现的？

从 y = abˣ 开始，两边取 lg。

lg y = lg (abˣ) = lg a + lg (bˣ) = lg a + x lg b。

改写成 lg y = (lg b) x + lg a，与 Y = mX + c 对照：

对于幂关系 y = axⁿ，同样的思路得出 lg y = n lg x + lg a。这时纵轴是 lg y，横轴是 lg x，斜率是 n，截距是 lg a。

从对数图读出常数的步骤

1. 看清坐标轴。 什么对什么作图？
2. 写出直线方程，形式为 Y = mX + c，用图上的变量。
3. 求斜率：用两个点；求截距：从直线读出。
4. 对照理论：斜率 = lg b，截距 = lg a。
5. 还原对数：b = 10^斜率，a = 10^截距。
6. 写出最终关系式，并用题中给出的一个点验证。

例题

lg y 对 x 的图是一条经过 (1, 1.2) 和 (5, 2.8) 的直线。变量满足 y = abˣ。求 a 和 b。

第 1 步，斜率： m = (2.8 − 1.2) ÷ (5 − 1) = 1.6 ÷ 4 = 0.4。

第 2 步，截距： 用 lg y = 0.4x + c，代入 (1, 1.2)：1.2 = 0.4 + c，所以 c = 0.8。

第 3 步，对照理论： lg b = 0.4，lg a = 0.8。

第 4 步，还原对数： b = 10^0.4 = 2.51，a = 10^0.8 = 6.31，均保留 3 位有效数字。

答案： y ≈ 6.31 × 2.51ˣ。

检查： x = 5 时，lg y = 0.8 + 0.4 × 5 = 2.8，所以 y = 10^2.8 ≈ 631。用取整后的常数算得 6.31 × 2.51⁵ ≈ 629，在舍入误差范围内吻合。✓

要避开的错误

常见的失误是把截距直接当成 a，而不是 lg a。

错误的答案： a = 0.8，b = 0.4。

学生把斜率和截距直接抄成了常数。

纠正的办法是记住：图上的数字是常数的对数。截距 0.8 是 lg a，所以 a = 10^0.8 = 6.31。

斜率 0.4 是 lg b，所以 b = 10^0.4 = 2.51。用 x = 0 测试就能看出问题：原方程给出 y = a，如果 a 是 0.8，那么 lg y 就是 lg 0.8，是负数。而图上显示 x = 0 时 lg y = 0.8，所以 y = 6.31。

自我检测

1. 对 y = 2 × 5ˣ，画 lg y 对 x 的图。写出斜率和截距，保留 3 位小数。

2. lg y 对 lg x 的图是一条经过 (0, 1) 和 (2, 4) 的直线。求形如 y = axⁿ 的关系式。

3. ln y 对 x 的图，斜率为 0.3，截距为 2。关系式为 y = Ae^kx。求 A 和 k。

接下来学什么

指数增长模型正是由这类方程而来，所以下一课要分清增长常数与百分比增长。准备好之后，再做综合练习。

如果你懂代数，但读图时总是犹豫哪个数是哪个，老师可以在一对一线上附加数学补习中用你自己画的草图练习这一步。