已知根 α 和 β，二次方程是 x² − (α + β)x + αβ = 0。根的和要带负号放进去，根的积就是常数项。
这一课属于二次函数结构与判别式，为“根与另一个方程的根相关”的题目做准备。
为什么“和与积”的规则成立？
如果根是 α 和 β，二次方程就是 (x − α)(x − β)，展开得 x² − (α + β)x + αβ。所以 x 的系数是和的相反数，常数项是积。
反过来看，ax² + bx + c = 0 的根的和是 −b/a，积是 c/a。不必解方程，就能得到这两个数。
怎样建立方程？
- 求根的和与根的积。
- 代入 x² − (和)x + (积) = 0。
- 如果题目要求整数系数，就乘以适当的数消去分数。
- 检查：把一个根代回方程。
例题
(a) 求一个整数系数的二次方程，它的根是 3 和 −1/2。
和 = 3 − 1/2 = 5/2。积 = 3 × (−1/2) = −3/2。
x² − (5/2)x − 3/2 = 0。乘以 2：2x² − 5x − 3 = 0。
检查： 判别式是 25 + 24 = 49，所以 x = (5 ± 7)/4，得 3 和 −1/2。正确。
(b) x² − 5x + 2 = 0 的根是 α 和 β。求根为 α + 1 和 β + 1 的方程。
由已知方程，α + β = 5，αβ = 2。
新的和 = (α + 1) + (β + 1) = 5 + 2 = 7。
新的积 = (α + 1)(β + 1) = αβ + (α + β) + 1 = 2 + 5 + 1 = 8。
方程是 x² − 7x + 8 = 0。
检查： 原方程的根是 (5 ± √17)/2，所以新根是 (7 ± √17)/2。它们的和是 7，积是 (49 − 17)/4 = 8。
要提防的错误
常见的失误是和的符号。
错误答案： 根是 3 和 −1/2，所以 x² + (5/2)x − 3/2 = 0
学生写下了和，却漏掉公式要求的负号。
检验：x = 3 时得 9 + 7.5 − 1.5 = 15，不是 0。纠正的办法是先写出模板 x² − ( )x + ( ) = 0，再填入和与积。
自我检测
1. 求根为 4 和 −7 的二次方程。
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和 = −3，积 = −28。所以 x² − (−3)x + (−28) = 0，即 x² + 3x − 28 = 0。检查 x = 4：16 + 12 − 28 = 0。
2. 求整数系数的方程，根为 2/3 和 1/2。
显示答案
和 = 7/6，积 = 1/3。所以 x² − (7/6)x + 1/3 = 0。乘以 6：6x² − 7x + 2 = 0。检查 x = 1/2：6/4 − 7/2 + 2 = 1.5 − 3.5 + 2 = 0。
3. 2x² − 6x + 1 = 0 的根是 α 和 β。求根为 2α 和 2β 的方程。
显示答案
α + β = 3，αβ = 1/2。新的和 = 6，新的积 = 4 × 1/2 = 2。方程是 x² − 6x + 2 = 0。检查：原方程的根是 (3 ± √7)/2，加倍后是 3 ± √7，和为 6，积为 9 − 7 = 2。
接下来学什么
同样的思路也支撑多项式的因式与余数中的因式定理。本模块内，请继续学把转折点与最小值联系起来。二次函数结构探索器会并排显示因式分解形式和标准形式，不用计算器的步骤训练器可练习精确的分数运算。
如果你会解方程，一要你建立方程就卡住，这正是可以在线上一对一附加数学补习中和老师直接处理的问题。