Set ini mempunyai dua belas soalan asli, disusun dari yang lebih mudah kepada yang lebih sukar, merangkumi kelima-lima pelajaran dalam jujukan dan peraturan pola. Soalan 1 hingga 4 ialah pemanasan, 5 hingga 8 membina kemahiran menguji dan mengenal jenis, dan 9 hingga 12 mencampurkan kemahiran.
Cuba setiap soalan di atas kertas, tanpa kalkulator, dan tulis langkah kerja seperti dalam peperiksaan. Hanya selepas itu buka jawapan.
Tandakan soalan yang salah dan gunakan senarai penghalaan di akhir. Makmal jujukan dan siri boleh menjana sebutan supaya anda dapat menyemak peraturan anda kemudian.
Soalan
1. Tulis dua sebutan berikutnya bagi 6, 10, 14, 18, … dan cari sebutan ke-n.
Lihat jawapan
Bezanya 4, jadi dua sebutan berikutnya ialah 22 dan 26. Peraturan bermula dengan 4n, yang memberikan 4, 8, 12, 16. Setiap sebutan lebih 2, jadi peraturannya 4n + 2.
Semak: n = 1 memberikan 6 dan n = 4 memberikan 18.
2. Cari sebutan ke-n bagi 25, 22, 19, 16, …
Lihat jawapan
Bezanya −3, jadi peraturan bermula dengan −3n, yang memberikan −3, −6, −9, −12. Setiap sebutan lebih 28, jadi peraturannya −3n + 28.
Semak: n = 1 memberikan 25 dan n = 4 memberikan 16.
3. Cari sebutan ke-40 bagi 7, 13, 19, 25, …
Lihat jawapan
Bezanya 6, jadi peraturan bermula dengan 6n, yang memberikan 6, 12, 18, 24. Setiap sebutan lebih 1, jadi peraturannya 6n + 1. Sebutan ke-40 ialah 6 × 40 + 1 = 241.
Semak dengan mengira ke hadapan: 7 + 39 × 6 = 7 + 234 = 241.
4. Sebutan ke-n bagi satu jujukan ialah 3n + 2, yang memberikan 5, 8, 11, 14, … Adakah 200 satu sebutan? Adakah 300 satu sebutan?
Lihat jawapan
Bagi 200: 3n + 2 = 200, jadi 3n = 198 dan n = 66. Ini nombor bulat, jadi 200 ialah sebutan ke-66.
Bagi 300: 3n + 2 = 300, jadi 3n = 298 dan n = 99.33… Ini bukan nombor bulat, jadi 300 bukan satu sebutan.
5. Seorang pelajar berkata sebutan ke-n bagi 4, 7, 10, 13, … ialah 3n + 4. Gunakan satu sebutan untuk menunjukkan peraturan itu salah, kemudian beri peraturan yang betul.
Lihat jawapan
Pada n = 1 peraturan memberikan 3 × 1 + 4 = 7, tetapi sebutan pertama ialah 4. Jadi peraturan itu gagal. Pelajar menggunakan sebutan pertama sebagai pemalar.
Bezanya 3, dan 3n memberikan 3, 6, 9, 12. Setiap sebutan lebih 1, jadi peraturan yang betul ialah 3n + 1.
Semak: n = 4 memberikan 13. Sebutan ke-30 ialah 3 × 30 + 1 = 91.
6. Jujukan 162, 54, 18, 6, … diteruskan. Nyatakan jenisnya, kemudian cari sebutan ke-6.
Lihat jawapan
Beza: −108, −36, −12, tidak tetap. Nisbah: 54 ÷ 162 = 1/3, 18 ÷ 54 = 1/3, 6 ÷ 18 = 1/3. Nisbahnya tetap, jadi ia geometri dengan a = 162 dan r = 1/3.
Sebutan ke-6 ialah 162 × (1/3)^5 = 162 ÷ 243 = 2/3.
Semak dengan meneruskan: 6 × 1/3 = 2, kemudian 2 × 1/3 = 2/3.
7. Satu jujukan geometri bermula dengan 5, 15, 45, … Sebutan yang manakah bernilai 1215?
Lihat jawapan
a = 5 dan r = 3, jadi sebutan ke-n ialah 5 × 3^(n − 1). Tetapkan 5 × 3^(n − 1) = 1215. Maka 3^(n − 1) = 243.
Oleh sebab 3^5 = 243, n − 1 = 5 dan n = 6. Jadi 1215 ialah sebutan ke-6.
Semak dengan meneruskan: 45, 135, 405, 1215. Itulah sebutan ke-6.
8. Cari sebutan ke-n bagi 2, 7, 14, 23, 34, …
Lihat jawapan
Beza pertama: 5, 7, 9, 11. Beza kedua: 2, 2, 2. Jadi a = 1 dan peraturan bermula dengan n².
Tolak n² (1, 4, 9, 16, 25): bakinya 1, 3, 5, 7, 9, iaitu 2n − 1. Peraturannya n² + 2n − 1.
Semak: n = 1 memberikan 2 dan n = 5 memberikan 25 + 10 − 1 = 34.
9. Cari sebutan ke-n bagi 6, 15, 28, 45, … kemudian sebutan ke-10.
Lihat jawapan
Beza pertama: 9, 13, 17. Beza kedua: 4, 4. Separuh daripada 4 ialah 2, jadi peraturan bermula dengan 2n².
Tolak 2n² (2, 8, 18, 32): bakinya 4, 7, 10, 13, iaitu 3n + 1. Peraturannya 2n² + 3n + 1.
Semak: n = 4 memberikan 32 + 12 + 1 = 45. Sebutan ke-10 ialah 200 + 30 + 1 = 231.
10. Sebutan ke-n bagi satu jujukan ialah n² − 4. Sebutan yang manakah bernilai 77? Adakah 50 satu sebutan?
Lihat jawapan
Bagi 77: n² − 4 = 77, jadi n² = 81 dan n = 9 (n mesti positif). Jadi 77 ialah sebutan ke-9.
Bagi 50: n² − 4 = 50, jadi n² = 54. Oleh sebab 7² = 49 dan 8² = 64, n bukan nombor bulat, jadi 50 bukan satu sebutan.
11. Satu baris petak dibuat daripada lidi. Satu petak menggunakan 4 lidi, dua petak yang bercantum dalam satu baris menggunakan 7, dan tiga petak menggunakan 10. Cari peraturannya, bilangan lidi untuk 25 petak, dan berapa banyak petak yang menggunakan 100 lidi.
Lihat jawapan
Bezanya 3, jadi peraturan bermula dengan 3n, yang memberikan 3, 6, 9. Setiap sebutan lebih 1, jadi peraturannya 3n + 1.
Bagi 25 petak: 3 × 25 + 1 = 76 lidi.
Bagi 100 lidi: 3n + 1 = 100, jadi 3n = 99 dan n = 33 petak.
12. Tiga sebutan pertama satu jujukan ialah 3, 6, 12. Peraturan A ialah “berganda setiap kali”. Peraturan B ialah 1.5n² − 1.5n + 3. Tunjukkan bahawa kedua-duanya sesuai dengan tiga sebutan itu, kemudian cari sebutan ke-4 daripada setiap satu.
Lihat jawapan
Peraturan B: n = 1 memberikan 1.5 − 1.5 + 3 = 3. n = 2 memberikan 6 − 3 + 3 = 6. n = 3 memberikan 13.5 − 4.5 + 3 = 12. Peraturan A memberikan 3, 6, 12 melalui penggandaan. Kedua-duanya sesuai.
Sebutan ke-4: Peraturan A memberikan 12 × 2 = 24. Peraturan B memberikan 1.5 × 16 − 1.5 × 4 + 3 = 24 − 6 + 3 = 21.
Tiga sebutan tidak dapat menentukan antara kedua-dua peraturan, jadi andaian yang dinyatakan atau maklumat tambahan diperlukan.
Jika anda tersilap
- Soalan 1 hingga 3 dan 11 (peraturan atau pemalar salah): ulang kaji mencari peraturan sebutan linear daripada beza. Pastikan pemalar anda lulus ujian n = 1.
- Soalan 5 dan 12 (peraturan hanya sesuai untuk sesetengah sebutan): ulang kaji menguji peraturan sebutan pada sebutan yang jauh.
- Soalan 6 dan 7 (keliru antara tambah dan darab, kuasa salah): ulang kaji membezakan perubahan aritmetik daripada geometri.
- Soalan 8 dan 9 (beza kedua atau baki): ulang kaji menggunakan beza kedua untuk peraturan kuadratik. Penjelajah struktur kuadratik boleh menunjukkan kaitan antara beza kedua dengan n².
- Soalan 4, 10 dan 11 (nilai diletakkan di tempat n): ulang kaji kedudukan sebutan dan nilai sebutan.
Catat setiap soalan yang salah dan cuba soalan baharu beberapa hari kemudian, misalnya dengan log kesilapan dan baris gilir ujian semula. Latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu langkah aritmetik.
Jika satu jenis kesilapan terus kembali, tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu membolehkan seorang guru melihat kerja bertulis anda dan menjejakinya kepada tabiat di sebaliknya.