这组练习有十二道原创题，由易到难，涵盖数列与规律公式的全部五课。第 1 到 4 题是热身，第 5 到 8 题训练检验与辨别类型，第 9 到 12 题综合运用。
请在纸上完成每一题，不用计算器，并像考试那样写出步骤。做完之后再打开答案。
标出做错的题目，并使用末尾的对照清单。数列与级数实验室可以生成各项，让你事后检查自己的公式。
题目
1. 写出 6, 10, 14, 18, … 的后两项，并求第 n 项。
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差是 4，所以后两项是 22 和 26。公式以 4n 开头，给出 4, 8, 12, 16。每一项多 2，所以公式是 4n + 2。
检验：n = 1 得 6，n = 4 得 18。
2. 求 25, 22, 19, 16, … 的第 n 项。
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差是 −3，所以公式以 −3n 开头，给出 −3, −6, −9, −12。每一项多 28，所以公式是 −3n + 28。
检验：n = 1 得 25，n = 4 得 16。
3. 求 7, 13, 19, 25, … 的第 40 项。
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差是 6，所以公式以 6n 开头，给出 6, 12, 18, 24。每一项多 1，所以公式是 6n + 1。第 40 项是 6 × 40 + 1 = 241。
用逐项往后数检验：7 + 39 × 6 = 7 + 234 = 241。
4. 某数列的第 n 项是 3n + 2，给出 5, 8, 11, 14, … 200 是数列中的项吗？300 呢？
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对 200：3n + 2 = 200，所以 3n = 198，n = 66。这是整数，所以 200 是第 66 项。
对 300：3n + 2 = 300，所以 3n = 298，n = 99.33…。这不是整数，所以 300 不是数列中的项。
5. 一位学生说 4, 7, 10, 13, … 的第 n 项是 3n + 4。用一项说明这个公式是错的，再给出正确公式。
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n = 1 时，公式得 3 × 1 + 4 = 7，但第一项是 4。所以公式不成立。这位学生把第一项当成了常数项。
差是 3，3n 给出 3, 6, 9, 12。每一项多 1，所以正确公式是 3n + 1。
检验：n = 4 得 13。第 30 项是 3 × 30 + 1 = 91。
6. 数列 162, 54, 18, 6, … 继续下去。说明它的类型，并求第 6 项。
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差：−108, −36, −12，不固定。比值：54 ÷ 162 = 1/3，18 ÷ 54 = 1/3，6 ÷ 18 = 1/3。比值固定，所以是等比数列，a = 162，r = 1/3。
第 6 项是 162 × (1/3)^5 = 162 ÷ 243 = 2/3。
继续往后检验：6 × 1/3 = 2，再 2 × 1/3 = 2/3。
7. 一个等比数列以 5, 15, 45, … 开头。哪一项等于 1215？
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a = 5，r = 3，所以第 n 项是 5 × 3^(n − 1)。令 5 × 3^(n − 1) = 1215。于是 3^(n − 1) = 243。
因为 3^5 = 243，所以 n − 1 = 5，n = 6。1215 是第 6 项。
继续往后检验：45, 135, 405, 1215。这是第 6 项。
8. 求 2, 7, 14, 23, 34, … 的第 n 项。
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一阶差：5, 7, 9, 11。二阶差：2, 2, 2。所以 a = 1，公式以 n² 开头。
减去 n²（1, 4, 9, 16, 25）：余数是 1, 3, 5, 7, 9，也就是 2n − 1。公式是 n² + 2n − 1。
检验：n = 1 得 2，n = 5 得 25 + 10 − 1 = 34。
9. 求 6, 15, 28, 45, … 的第 n 项，再求第 10 项。
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一阶差：9, 13, 17。二阶差：4, 4。4 的一半是 2，所以公式以 2n² 开头。
减去 2n²（2, 8, 18, 32）：余数是 4, 7, 10, 13，也就是 3n + 1。公式是 2n² + 3n + 1。
检验：n = 4 得 32 + 12 + 1 = 45。第 10 项是 200 + 30 + 1 = 231。
10. 某数列的第 n 项是 n² − 4。哪一项等于 77？50 是数列中的项吗？
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对 77：n² − 4 = 77，所以 n² = 81，n = 9（n 必须是正数）。所以 77 是第 9 项。
对 50：n² − 4 = 50，所以 n² = 54。因为 7² = 49，8² = 64，所以 n 不是整数，50 不是数列中的项。
11. 用火柴棒摆一排正方形。一个正方形用 4 根，两个相连成一排的用 7 根，三个用 10 根。求公式，25 个正方形需要的火柴棒数，以及 100 根火柴棒能摆几个正方形。
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差是 3，所以公式以 3n 开头，给出 3, 6, 9。每一项多 1，所以公式是 3n + 1。
25 个正方形：3 × 25 + 1 = 76 根。
100 根：3n + 1 = 100，所以 3n = 99，n = 33 个正方形。
12. 某数列的前三项是 3, 6, 12。公式 A 是”每次翻倍”。公式 B 是 1.5n² − 1.5n + 3。说明两者都吻合这三项，再分别求第 4 项。
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公式 B：n = 1 得 1.5 − 1.5 + 3 = 3。n = 2 得 6 − 3 + 3 = 6。n = 3 得 13.5 − 4.5 + 3 = 12。公式 A 通过翻倍得到 3, 6, 12。两者都吻合。
第 4 项：公式 A 得 12 × 2 = 24。公式 B 得 1.5 × 16 − 1.5 × 4 + 3 = 24 − 6 + 3 = 21。
三项无法在两个公式之间做出选择，所以需要写明假设或利用额外的信息。
如果做错了
- 第 1 到 3 题和第 11 题（公式或常数项错）： 复习由差求线性项公式。确认你的常数项通过 n = 1 的检验。
- 第 5 题和第 12 题（公式只吻合部分项）： 复习用较远的项检验项公式。
- 第 6 题和第 7 题（混淆加与乘、指数错）： 复习区分等差变化与等比变化。
- 第 8 题和第 9 题（二阶差或余数出错）： 复习用二阶差探究二次公式。二次结构探究器可以展示二阶差与 n² 的联系。
- 第 4、10、11 题（把值放在 n 的位置）： 复习项的位置与项的值。
记下每一道做错的题，几天后重做一道新题，例如使用错题记录与重测队列。无计算器运算训练可以帮你练习运算步骤。
如果某一类错误总是反复出现，数学线上一对一补习让老师查看你的书面步骤，追溯到背后的习惯。