Bukti menerangkan mengapa sesuatu pernyataan benar untuk setiap nilai yang dibenarkan, bukan hanya yang anda cuba. Soalan menggunakan “tunjukkan bahawa”, “buktikan bahawa” atau “terangkan mengapa”, dan langkah yang tidak boleh diberi oleh kalkulator ialah sebab. Ini kemahiran teras dalam penaakulan lanjutan tanpa kalkulator.
Apakah yang diperlukan oleh sesuatu bukti?
Bukti algebra pendek mempunyai tiga bahagian:
- Wakilkan kes umum dengan huruf, seperti integer n, atau integer berturutan n dan n + 1.
- Ubah ungkapan dengan algebra sehingga strukturnya kelihatan, seperti faktor sepunya.
- Justifikasikan langkah akhir dalam perkataan, dengan menyatakan fakta yang menjadikan kesimpulan benar.
Menggantikan n dengan 1, 2 dan 3 boleh mencadangkan satu corak, tetapi itu bukan langkah 3.
Contoh berlangkah
Buktikan bahawa (2n + 1)² − 1 ialah gandaan 8 bagi setiap integer positif n.
Langkah 1, kembangkan: (2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n + 1 − 1 = 4n² + 4n.
Langkah 2, faktorkan: 4n² + 4n = 4n(n + 1).
Langkah 3, justifikasi: n dan n + 1 ialah integer berturutan, jadi salah satunya genap. Oleh itu n(n + 1) genap, bermakna n(n + 1) = 2k untuk suatu integer k.
Langkah 4, buat kesimpulan: 4n(n + 1) = 4 × 2k = 8k. Jadi ungkapan itu ialah gandaan 8.
Semak dengan nombor (bukan bukti, tetapi ujian berguna): n = 1 memberi 9 − 1 = 8, n = 2 memberi 25 − 1 = 24 = 8 × 3, n = 3 memberi 49 − 1 = 48 = 8 × 6. Semuanya gandaan 8.
Kalkulator boleh menghasilkan baris terakhir untuk nilai n yang dipilih. Ia tidak boleh memberitahu mengapa ungkapan itu sentiasa gandaan 8. Ayat dalam langkah 3 ialah sebab itu.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menguji beberapa nilai lalu menamakannya bukti.
Kerja yang salah: “Apabila n = 1, 2, 3 jawapannya 8, 24, 48, semuanya gandaan 8, jadi ia sentiasa benar.”
Pelajar menunjukkan tiga kes, bukan semua kes.
Pembetulannya ialah menggunakan huruf n, memfaktorkan kepada 4n(n + 1), dan memberi sebab n(n + 1) genap. Sesuatu dakwaan juga boleh gagal selepas banyak kejayaan: n² + n + 41 ialah nombor perdana untuk n = 1 hingga 39, tetapi n = 40 memberi 1681 = 41².
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Tunjukkan bahawa (n + 3)² − (n − 3)² ialah gandaan 12 bagi setiap integer n.
Tunjukkan jawapan
Kembangkan: (n² + 6n + 9) − (n² − 6n + 9) = 12n. Oleh sebab n ialah integer, 12n ialah 12 kali satu integer, jadi ia gandaan 12.
2. Beri contoh tandingan bagi dakwaan “n² + n + 41 ialah nombor perdana bagi setiap integer positif n”.
Tunjukkan jawapan
Ambil n = 40: 1600 + 40 + 41 = 1681, dan 41 × 41 = 1681. Jadi 1681 bukan nombor perdana, dan dakwaan itu palsu.
3. Terangkan mengapa hasil tambah mana-mana tiga integer berturutan boleh dibahagi dengan 3.
Tunjukkan jawapan
Katakan integer itu n − 1, n dan n + 1. Hasil tambahnya 3n, iaitu 3 kali satu integer. Jadi ia boleh dibahagi dengan 3.
Ke mana selepas ini?
Seterusnya, lihat menyemak keputusan dengan kaedah kedua yang bebas. Pelatih kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik memberi anda corak untuk diuji sebelum menulis bukti.
Sesetengah pelajar betul dalam algebra tetapi hilang markah pada perkataan. Guru kami membaca ayat anda seteliti persamaan anda dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.