Nilai tepat bermaksud jawapan yang dibiarkan dalam bentuk surd dan pecahan, bukan perpuluhan yang dibundarkan. Kemahiran ini muncul apabila soalan menyebut “tepat”, “tanpa kalkulator” atau “beri jawapan dalam bentuk surd”, dan menjadi asas bagi baki penaakulan lanjutan tanpa kalkulator.
Dari mana nilai tepat datang?
Lukis sebuah segi empat sama bersisi 1 dan potong di sepanjang pepenjuru. Anda mendapat segi tiga bersudut tegak sama kaki dengan sisi 1, 1 dan √2.
Lukis segi tiga sama sisi bersisi 2 dan potong separuh. Anda mendapat segi tiga bersudut tegak dengan sisi 1, √3 dan 2, serta sudut 30° dan 60°.
Membaca nisbah daripada lakaran ini memberi nilai berikut:
| Sudut | sin | kos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
Perhatikan sin 30° = kos 60° dan sin 60° = kos 30°. Sudut pelengkap menukar sin dan kos.
Bagaimana merasionalkan penyebut?
Jika penyebut ialah satu surd seperti √5, darabkan pengangka dan penyebut dengan √5. Jadi 10/√5 = 10√5/5 = 2√5.
Jika penyebut ialah hasil tambah seperti √3 − 1, darabkan pengangka dan penyebut dengan konjugat √3 + 1. Maka (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2, nombor bulat.
Contoh berlangkah
Tanpa kalkulator, cari nilai tepat bagi (tan 60° + 1)/(tan 60° − 1), dan beri jawapan dalam bentuk a + b√3.
Langkah 1, ganti nilai tepat: tan 60° = √3, jadi ungkapannya (√3 + 1)/(√3 − 1).
Langkah 2, rasionalkan: darabkan pengangka dan penyebut dengan √3 + 1.
Langkah 3, penyebut: (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2.
Langkah 4, pengangka: (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3.
Langkah 5, bahagi: (4 + 2√3)/2 = 2 + √3.
Semak: dengan √3 ≈ 1.732, ungkapan asal ialah 2.732/0.732 ≈ 3.732, dan 2 + √3 ≈ 3.732. Kedua-duanya sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah mengkuasaduakan kurungan tanpa sebutan tengah.
Kerja yang salah: (√3 + 1)² = 3 + 1 = 4
Pelajar mengkuasaduakan setiap sebutan dan terlupa 2 × √3 × 1.
Pembetulannya ialah mengembangkan (√3 + 1)(√3 + 1) sepenuhnya, iaitu 3 + √3 + √3 + 1 = 4 + 2√3. Semakan perpuluhan pantas mendedahkan kesilapan itu: 2.732² kira-kira 7.46, bukan 4.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari nilai tepat bagi kos 30° × tan 60°.
Tunjukkan jawapan
kos 30° = √3/2 dan tan 60° = √3. Hasil darabnya (√3 × √3)/2 = 3/2.
3/2
2. Rasionalkan 10/√5.
Tunjukkan jawapan
Darabkan pengangka dan penyebut dengan √5: 10√5/5 = 2√5. Semak: 10/2.236 ≈ 4.472 dan 2√5 ≈ 4.472.
3. Cari nilai tepat bagi sin 45° × kos 45°.
Tunjukkan jawapan
Setiap satu ialah √2/2, jadi hasil darabnya (√2/2)² = 2/4 = 1/2.
Ke mana selepas ini?
Setelah nilai tepat mantap, teruskan ke memilih algebra sebelum penggantian nombor. Papan penaakulan segi tiga dan pelatih kerja tanpa kalkulator membolehkan anda menguji jawapan tepat anda.
Sesetengah pelajar boleh menyebut jadual tetapi terkaku apabila ia muncul dalam soalan yang lebih panjang. Guru kami mencari dengan tepat di mana ia berlaku dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.