Memilih algebra dahulu bermaksud menggunakan hubungan antara kuantiti dan bukannya mencari setiap nilai secara berasingan. Ia muncul apabila soalan memberi hasil tambah, hasil darab atau salingan dan meminta kuasa dua atau gabungan, dan ia salah satu kemahiran utama dalam penaakulan lanjutan tanpa kalkulator.
Bilakah jalan yang lebih pendek wujud?
Jalan yang lebih pendek wujud apabila ungkapan yang diminta bersifat simetri dalam nilai yang tidak diketahui. Ungkapan seperti a² + b², (a − b)² dan x² + 1/x² boleh ditulis menggunakan a + b dan ab, atau menggunakan x + 1/x.
Identiti utamanya ialah (a + b)² = a² + 2ab + b². Disusun semula, a² + b² = (a + b)² − 2ab.
Untuk pasangan salingan, anggap b sebagai 1/x. Maka ab = 1, jadi x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2.
Contoh berlangkah
Diberi x + 1/x = 5, cari nilai x² + 1/x².
Langkah 1, pilih struktur: sasarannya kuasa dua bagi setiap sebutan, dan yang diberi ialah hasil tambahnya.
Langkah 2, kuasa duakan yang diberi: (x + 1/x)² = x² + 2 × x × (1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x².
Langkah 3, ganti nombor: 5² = x² + 2 + 1/x², jadi 25 = x² + 2 + 1/x².
Langkah 4, susun semula: x² + 1/x² = 25 − 2 = 23.
Semak dengan cara panjang: x + 1/x = 5 bermaksud x² − 5x + 1 = 0, jadi x = (5 + √21)/2 ≈ 4.791. Maka x² ≈ 22.956 dan 1/x² ≈ 0.044, dan hasil tambahnya 23.000 kepada tiga tempat perpuluhan. Kedua-dua cara sepakat.
Perhatikan cara panjang memerlukan satu kuadratik, satu surd dan dua kali pengkuasaduaan, manakala algebra hanya empat baris tanpa surd.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah meninggalkan sebutan tengah semasa mengkuasaduakan.
Kerja yang salah: (x + 1/x)² = x² + 1/x², jadi x² + 1/x² = 25
Pelajar mengkuasaduakan setiap sebutan dan terlupa sebutan silang 2 × x × (1/x) = 2.
Pembetulannya ialah menulis kuasa dua penuh setiap kali, dan sedar bahawa sebutan silang di sini bernilai 2 kerana x × (1/x) = 1. Kemudian tolakkannya.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Diberi a + b = 7 dan ab = 10, cari a² + b².
Tunjukkan jawapan
a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29. Semak: a = 5, b = 2 memberi 25 + 4 = 29.
2. Diberi x − 1/x = 3, cari x² + 1/x².
Tunjukkan jawapan
(x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x² = 9, jadi x² + 1/x² = 9 + 2 = 11. Sebutan tengah kini negatif, jadi anda menambah 2.
3. Tanpa kalkulator, cari 101² − 99².
Tunjukkan jawapan
Beza dua kuasa dua: (101 − 99)(101 + 99) = 2 × 200 = 400. Semak: 10 201 − 9 801 = 400.
Ke mana selepas ini?
Selepas ini, cuba memudahkan ungkapan panjang dengan mengenal struktur. Penjelajah struktur kuadratik menunjukkan bagaimana hasil tambah dan hasil darab punca berkait dengan pekali, iaitu idea yang sama dalam bentuk lain. Pelatih kerja tanpa kalkulator memberi latihan aritmetik tepat tambahan.
Sesetengah pelajar faham identiti tetapi tidak terfikir menggunakannya apabila soalan kelihatan asing. Tabiat bertanya “soalan ini sebenarnya tentang apa?” dibina oleh guru kami dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.