Soalan ini melatih lima kemahiran dalam penaakulan lanjutan tanpa kalkulator: nilai tepat, pemilihan algebra, struktur, bukti dan semakan. Ia bermula daripada yang lebih mudah kepada yang lebih sukar dan semuanya asli.
Jangan guna kalkulator, tulis struktur yang anda nampak sebelum bermula, dan buka setiap jawapan hanya selepas percubaan penuh. Pelatih kerja tanpa kalkulator boleh memberi pendapat kedua tentang aritmetik tepat selepas itu.
Soalan
S1. Cari nilai tepat bagi sin² 45° + kos² 60°.
Tunjukkan jawapan
sin 45° = √2/2, jadi sin² 45° = 2/4 = 1/2. kos 60° = 1/2, jadi kos² 60° = 1/4.
Hasil tambah: 1/2 + 1/4 = 3/4.
S2. Rasionalkan penyebut bagi 4/(√7 − √3).
Tunjukkan jawapan
Darabkan pengangka dan penyebut dengan √7 + √3. Penyebut ialah 7 − 3 = 4. Pengangka ialah 4(√7 + √3).
Jadi hasilnya 4(√7 + √3)/4 = √7 + √3.
Semak: 4/(2.646 − 1.732) = 4/0.914 ≈ 4.38, dan √7 + √3 ≈ 4.38.
S3. Tulis (1 + √3)/(2 − √3) dalam bentuk a + b√3.
Tunjukkan jawapan
Darabkan pengangka dan penyebut dengan 2 + √3. Penyebut ialah 4 − 3 = 1.
Pengangka ialah (1 + √3)(2 + √3) = 2 + √3 + 2√3 + 3 = 5 + 3√3.
Jadi jawapannya 5 + 3√3. Semak: 2.732/0.268 ≈ 10.2, dan 5 + 5.196 = 10.196.
S4. Diberi a + b = 6 dan ab = 4, cari (a) a² + b², (b) (a − b)².
Tunjukkan jawapan
(a) a² + b² = (a + b)² − 2ab = 36 − 8 = 28.
(b) (a − b)² = a² + b² − 2ab = 28 − 8 = 20.
Semak: dua nombor dengan hasil tambah 6 dan hasil darab 4 ialah 3 ± √5. Maka a² + b² = 2(9 + 5) = 28, dan a − b = 2√5, jadi (a − b)² = 20.
S5. Diberi x + 1/x = 6, cari (a) x² + 1/x², (b) x³ + 1/x³.
Tunjukkan jawapan
(a) Kuasa duakan yang diberi: x² + 2 + 1/x² = 36, jadi x² + 1/x² = 34.
(b) Kuasa tigakan yang diberi: (x + 1/x)³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x). Jadi 216 = x³ + 1/x³ + 18, dan x³ + 1/x³ = 198.
Semak: x = 3 + 2√2 memberi 1/x = 3 − 2√2. Maka x² = 17 + 12√2 dan 1/x² = 17 − 12√2, hasil tambah 34. Juga x³ = 99 + 70√2, dan dengan 1/x³ = 99 − 70√2 hasil tambahnya 198.
S6. Permudahkan (x² − 25)/(x² + 2x − 15).
Tunjukkan jawapan
x² − 25 = (x − 5)(x + 5), dan x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3).
Batalkan (x + 5): (x − 5)/(x − 3), untuk x ≠ −5 dan x ≠ 3.
Semak x = 6: ungkapan asal ialah 11/33 = 1/3 dan jawapannya 1/3.
S7. Permudahkan (4ⁿ⁺¹ − 4ⁿ)/(3 × 4ⁿ⁻¹).
Tunjukkan jawapan
Pengangka: 4ⁿ⁺¹ − 4ⁿ = 4ⁿ(4 − 1) = 3 × 4ⁿ. Penyebut: 3 × 4ⁿ⁻¹.
Bahagi: 4ⁿ/4ⁿ⁻¹ = 4, jadi jawapannya 4.
Semak n = 1: (16 − 4)/3 = 4. Semak n = 2: (64 − 16)/12 = 4.
S8. Buktikan bahawa hasil darab dua integer genap berturutan ialah gandaan 8.
Tunjukkan jawapan
Katakan integer itu 2n dan 2n + 2, dengan n ialah integer. Hasil darabnya 2n(2n + 2) = 4n² + 4n = 4n(n + 1).
n dan n + 1 ialah integer berturutan, jadi satu genap dan n(n + 1) = 2k untuk suatu integer k.
Jadi hasil darabnya 4 × 2k = 8k, gandaan 8.
Semak: 2 × 4 = 8, 4 × 6 = 24 dan 6 × 8 = 48.
S9. Selesaikan √(2x + 3) = x, dengan menyemak setiap jawapan.
Tunjukkan jawapan
Kuasa duakan kedua-dua belah: 2x + 3 = x², jadi x² − 2x − 3 = 0 dan (x − 3)(x + 1) = 0.
Uji x = 3: √9 = 3. ✓
Uji x = −1: √1 = 1, tetapi sebelah kanan ialah −1. ✗
Jadi x = 3 ialah satu-satunya penyelesaian. Langkah pengkuasaduaan mencipta jawapan tambahan itu.
S10. Tunjukkan bahawa √(11 + 6√2) = 3 + √2.
Tunjukkan jawapan
Kuasa duakan sebelah kanan: (3 + √2)² = 9 + 6√2 + 2 = 11 + 6√2.
Oleh sebab 3 + √2 positif, ia ialah punca kuasa dua positif bagi 11 + 6√2, jadi pernyataan itu benar.
Semak: 11 + 8.485 = 19.485, dan punca kuasa duanya 4.414. Juga 3 + 1.414 = 4.414.
S11. Diberi x = √5 + 2, cari nilai tepat bagi (a) x + 1/x, (b) x² + 1/x².
Tunjukkan jawapan
(a) 1/x = 1/(√5 + 2). Darabkan pengangka dan penyebut dengan √5 − 2. Penyebut ialah 5 − 4 = 1, jadi 1/x = √5 − 2.
Maka x + 1/x = (√5 + 2) + (√5 − 2) = 2√5.
(b) x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (2√5)² − 2 = 20 − 2 = 18.
Semak: x² = 9 + 4√5 dan 1/x² = 9 − 4√5, dan hasil tambahnya 18.
Jika anda tersilap
- S1 hingga S3: nilai tepat, langkah merasionalkan atau sebutan silang yang tertinggal. Ulang kaji nilai tepat surd dan trigonometri.
- S4 dan S5: identiti dengan sebutan tengah yang tertinggal. Ulang kaji memilih algebra sebelum penggantian nombor.
- S6 dan S7: membatalkan merentasi tambah atau terlepas kuasa sepunya. Ulang kaji memudahkan dengan mengenal struktur.
- S8: sebab dalam bukti tiada. Ulang kaji menerangkan langkah bukti.
- S9 dan S10: tiada semakan bebas, atau punca tambahan diterima. Ulang kaji menyemak dengan kaedah kedua.
- S11: campuran merasionalkan dan struktur. Ulang kaji L01 dan L02 bersama-sama.
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan, dan uji idea kuadratik dengan penjelajah struktur kuadratik. Apabila satu kumpulan soalan terus salah, tuisyen Additional Mathematics boleh mengerjakan kumpulan itu bersama anda secara satu dengan satu.