Siri aritmetik dan geometri

Modul ini merangkumi janjang aritmetik (arithmetic progression), yang mana setiap sebutan menambah beza tetap d, dan janjang geometri (geometric progression), yang mana setiap sebutan didarab dengan nisbah tetap r. Anda belajar mencari sebutan, menjumlahkannya, dan menentukan bila hasil tambah tak terhingga wujud. Benang yang sama ialah dua maklumat menentukan seluruh jujukan, dan kebanyakan soalan ialah tentang menukar ayat kepada dua persamaan itu.

Semak laman sukatan pelajaran Additional Mathematics 0606 Cambridge yang semasa untuk kandungan tepat pada tahun peperiksaan anda, termasuk formula yang diberi dan peraturan kalkulator. Panduan pembelajaran Matematik Tambahan kami menunjukkan kedudukan modul ini antara modul lain.

Apakah yang patut anda tahu dahulu?

Anda perlu menyelesaikan persamaan linear serentak, mengembang dan menyelesaikan kuadratik mudah, dan bekerja dengan indeks seperti 2⁶ dan (2/3)². Jika kuadratik masih goyah, ulang kaji struktur kuadratik dan pembeza tentu dahulu, kerana pelajaran terakhir berakhir dengan ketaksamaan kuadratik. Indeks dan logaritma dalam penaakulan eksponen dan logaritma membantu apabila n ialah anu dalam masalah geometri.

Formula utama

Bagi janjang aritmetik, sebutan ke-n ialah a + (n − 1)d dan hasil tambah n sebutan ialah n/2 (2a + (n − 1)d). Bagi janjang geometri, sebutan ke-n ialah arⁿ⁻¹ dan hasil tambah n sebutan ialah a(1 − rⁿ)/(1 − r). Jika |r| < 1, hasil tambah hingga ketakterhinggaan ialah a/(1 − r).

Contoh penunjuk arah

Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan ke-2 ialah 9 dan sebutan ke-6 ialah 25. Cari a, d dan hasil tambah 10 sebutan pertama.

Langkah 1, persamaan: a + d = 9 dan a + 5d = 25.

Langkah 2, tolak: 4d = 16, maka d = 4. Kemudian a = 9 − 4 = 5.

Langkah 3, hasil tambah: S₁₀ = 10/2 × (2(5) + 9(4)) = 5 × 46 = 230.

Semakan: sebutannya ialah 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41 dan jumlahnya 230.

Corak “syarat kepada persamaan, selesaikan, kemudian jawab” yang sama kembali dalam setiap pelajaran.

Dalam susunan mana patut anda belajar?

1. Cari sebutan daripada dua syarat jujukan: langkah teras, membentuk dua persamaan dalam a dan d atau r.
2. Mengira hasil tambah terhingga janjang aritmetik: formula hasil tambah, dan mengira bilangan sebutan dengan betul.
3. Mencari nisbah sepunya daripada sebutan: janjang geometri, punca, dan kes dua nisbah yang mungkin.
4. Guna hasil tambah tak terhingga hanya apabila syarat dipenuhi: ujian |r| < 1 sebelum sebarang formula.
5. Selesaikan masalah gabungan sebutan dan hasil tambah: mencampurkan kemahiran dan berakhir dengan ketaksamaan dalam n.

Kemudian selesaikan set latihan campuran. Satu pelajaran sehari dan set latihan pada hujung minggu ialah rentak yang stabil. Makmal jujukan dan siri membolehkan anda menyemak contoh sendiri sepanjang jalan.

Perangkap yang manakah menjerat kebanyakan pelajar di sini?

• Menggunakan n dan bukannya n − 1, sehingga sebutan ke-5 menjadi a + 5d.
• Tersalah mengira bilangan sebutan, membahagi rentang dengan d dan terlupa menambah satu.
• Tercicir nisbah negatif apabila r² atau kuasa genap lain terlibat.
• Menggunakan a/(1 − r) tanpa menyemak |r| < 1, lalu menerima hasil tambah negatif bagi sebutan positif.
• Menganggap hasil tambah yang sama dengan sasaran sebagai “lebih besar daripada” sasaran, sehingga n terkecil kurang satu.

Setiap pelajaran menunjukkan satu kesilapan ini sepenuhnya, kemudian membetulkannya.

Bagaimana patut anda menggunakan set latihan?

Cuba setiap soalan di atas kertas tanpa membuka jawapan. Semak setiap hasil dengan syarat asal, kerana semakan penggantian mengambil kurang seminit dan mengesan kebanyakan kesilapan.

Catat nombor soalan yang tersilap dan gunakan senarai penghalaan di hujung set latihan. Jika perangkap yang sama muncul lebih sekali, kembali ke pelajaran itu sebelum mencuba soalan baharu. Log kesilapan dan baris ujian semula ialah cara mudah untuk menjejak perkara ini.

Di manakah tuisyen sesuai?

Jujukan boleh dipelajari dengan baik daripada pelajaran seperti ini, dan sesetengah pelajar hanya memerlukan latihan. Yang lain mengikuti setiap langkah tetapi tersekat apabila soalan dinyatakan dengan cara yang tidak biasa. Guru kami melihat cara anda menukar ayat kepada persamaan, yang biasanya menjadi punca kesukaran, dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.

Selepas modul ini, topik seterusnya ialah kembangan binomial, yang juga menggunakan corak dalam kuasa dan pekali.