Hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang aritmetik ialah Sn = n/2 (2a + (n − 1)d), atau setara dengan n/2 (a + l) yang mana l ialah sebutan terakhir. Formulanya mudah. Markah biasanya hilang kerana tersilap mengira n.
Pelajaran ini menyusul mencari sebutan daripada dua syarat dan terletak dalam siri aritmetik dan geometri.
Dari mana datangnya formula itu?
Tulis hasil tambah ke hadapan dan ke belakang. Setiap pasangan, sebutan pertama dengan terakhir, kedua dengan kedua terakhir, berjumlah sama iaitu a + l. Terdapat n pasangan sebegitu merentasi dua baris, lalu 2S = n(a + l).
Jadi hasil tambah ialah bilangan sebutan didarab dengan purata sebutan pertama dan terakhir. Ini juga anggaran cepat: purata 4 dan 100 ialah 52, maka 33 sebutan berjumlah lebih kurang 33 × 52.
Bagaimana mencari hasil tambah, langkah demi langkah?
- Kenal pasti a dan d daripada sebutan awal. Bezanya ialah mana-mana sebutan tolak sebutan sebelumnya.
- Cari n. Jika soalan memberi sebutan terakhir, selesaikan peraturan sebutan ke-n untuk n. Jawapannya mesti nombor bulat.
- Pilih bentuk. Gunakan n/2 (2a + (n − 1)d) jika anda tahu d, atau n/2 (a + l) jika anda tahu sebutan terakhir.
- Kira, kemudian semak dengan bentuk yang satu lagi.
Contoh berlangkah
Cari hasil tambah 4 + 7 + 10 + … + 100.
Langkah 1, kenal pasti: a = 4 dan d = 7 − 4 = 3.
Langkah 2, cari n: 4 + 3(n − 1) = 100, maka 3(n − 1) = 96 dan n − 1 = 32. Jadi n = 33.
Langkah 3, hasil tambah: S = 33/2 × (4 + 100) = 33/2 × 104 = 33 × 52 = 1716.
Langkah 4, semak dengan bentuk lain: 33/2 × (2(4) + 32(3)) = 33/2 × 104, sama sahaja, 1716.
Jawapannya ialah 1716.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah mengira bilangan langkah lalu menganggapnya bilangan sebutan.
Kerja yang salah: n = (100 − 4) ÷ 3 = 32, maka S = 32/2 × (4 + 100) = 16 × 104 = 1664.
96 ÷ 3 mengira jurang antara sebutan. Sebutan lebih satu berbanding jurang, seperti tiang dan panel pagar.
Pembetulannya ialah menambah satu: n = 33 dan S = 1716. Tabiat yang baik ialah menyemak pada senarai pendek. Bagi 4, 7, 10, sebutan terakhir ialah 10, jurangnya (10 − 4) ÷ 3 = 2, dan bilangan sebutan ialah 3.
Semak diri anda
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari hasil tambah 15 sebutan pertama janjang aritmetik dengan a = 2 dan d = 3.
Lihat jawapan
S = 15/2 × (2(2) + 14(3)) = 15/2 × 46 = 15 × 23 = 345.
Semakan: sebutan terakhir = 2 + 42 = 44, dan 15/2 × (2 + 44) = 15/2 × 46 = 345.
2. Cari hasil tambah 50 + 46 + 42 + … + 10.
Lihat jawapan
a = 50 dan d = −4. Selesaikan 50 − 4(n − 1) = 10, maka n − 1 = 10 dan n = 11.
S = 11/2 × (50 + 10) = 11/2 × 60 = 330. Semakan: purata sebutan ialah 30 dan terdapat 11 sebutan, jadi 11 × 30 = 330.
3. Cari hasil tambah semua gandaan 3 dari 3 hingga 99.
Lihat jawapan
a = 3, d = 3 dan sebutan terakhir 99. Maka 3n = 99 memberi n = 33.
S = 33/2 × (3 + 99) = 33/2 × 102 = 33 × 51 = 1683. Semakan: 3 × (1 + 2 + … + 33) = 3 × 561 = 1683.
Langkah seterusnya
Seterusnya, bekerja dengan nisbah dan bukannya beza dalam mencari nisbah sepunya daripada sebutan. Kedua-dua idea bertemu kemudian dalam masalah gabungan sebutan dan hasil tambah. Makmal jujukan dan siri menunjukkan sebutan serta jumlah berjalan bagi mana-mana a, d dan n yang anda pilih.
Jika jumlah anda biasanya betul tetapi kadangkala salah satu sebutan, itu wajar diberi perhatian individu sebentar, yang diberikan oleh guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.