Set ini mempunyai dua belas soalan asli, disusun dari yang lebih mudah kepada yang lebih sukar, merangkumi kesemua lima pelajaran dalam siri aritmetik dan geometri. Soalan 1 hingga 4 ialah sebutan dan hasil tambah aritmetik, 5 hingga 7 menggunakan nisbah geometri dan hasil tambah terhingga, 8 hingga 10 melibatkan syarat atau hasil tambah tak terhingga, dan 11 serta 12 ialah masalah bercerita.
Cuba setiap soalan di atas kertas dan semak jawapan anda dengan syarat asal sebelum membuka penyelesaian. Makmal jujukan dan siri berguna untuk menyemak selepas anda mencuba dengan tangan, dan log kesilapan dan baris ujian semula membantu anda menjejak kesilapan.
Tandakan soalan yang salah dan gunakan senarai penghalaan di hujung.
Soalan
1. Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan pertama 5 dan beza sepunya 3. Cari sebutan ke-30.
Lihat jawapan
Sebutan ke-30 = 5 + 29 × 3 = 5 + 87 = 92.
Semakan: sebutan pertama ialah 5 dan terdapat 29 langkah sebanyak 3 selepasnya, jadi 5 + 87 = 92.
2. Cari hasil tambah 25 sebutan pertama bagi 7 + 12 + 17 + …
Lihat jawapan
a = 7 dan d = 5. S25 = 25/2 × (14 + 24 × 5) = 25/2 × 134 = 25 × 67 = 1675.
Semakan: sebutan terakhir = 7 + 120 = 127, dan 25/2 × (7 + 127) = 25/2 × 134 = 1675.
3. Sebutan ke-4 sebuah janjang geometri ialah 24 dan sebutan ke-7 ialah 192. Cari r dan sebutan pertama.
Lihat jawapan
ar³ = 24 dan ar⁶ = 192. Pembahagian memberi r³ = 8, maka r = 2. Kemudian 8a = 24, maka a = 3.
Semakan: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, jadi sebutan ke-4 ialah 24 dan sebutan ke-7 ialah 192.
4. Janjang aritmetik 2, 9, 16, … berakhir dengan sebutan 93. Berapakah bilangan sebutan, dan berapakah jumlahnya?
Lihat jawapan
d = 7. Selesaikan 2 + 7(n − 1) = 93, maka 7(n − 1) = 91 dan n − 1 = 13. Jadi n = 14.
S = 14/2 × (2 + 93) = 7 × 95 = 665. Semakan: purata sebutan pertama dan terakhir ialah 47.5, dan 14 × 47.5 = 665.
5. Cari hasil tambah 8 sebutan pertama janjang geometri 3, 6, 12, …
Lihat jawapan
a = 3 dan r = 2. S8 = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 3 × 255 = 765.
Semak dengan menambah: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765.
6. Sebutan ke-2 sebuah janjang geometri ialah 12 dan sebutan ke-4 ialah 48. Tuliskan setiap pasangan nilai a dan r yang mungkin.
Lihat jawapan
ar = 12 dan ar³ = 48. Pembahagian memberi r² = 4, maka r = 2 atau r = −2.
Jika r = 2, maka a = 6. Jika r = −2, maka a = −6. Kedua-duanya sah: 6, 12, 24, 48 dan −6, 12, −24, 48. Jadi (a, r) = (6, 2) atau (−6, −2).
7. Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan ke-4 ialah 11 dan hasil tambah 10 sebutan pertamanya ialah 155. Cari a dan d.
Lihat jawapan
a + 3d = 11 dan 10/2 × (2a + 9d) = 155, maka 2a + 9d = 31. Daripada yang pertama, a = 11 − 3d. Kemudian 22 − 6d + 9d = 31, jadi d = 3 dan a = 2.
Semakan: sebutan 2, 5, 8, 11 mempunyai sebutan ke-4 ialah 11. S10 = 5 × (4 + 27) = 155.
8. Nombor x, x + 2 dan x + 5 ialah sebutan berturutan bagi janjang geometri. Cari x dan r.
Lihat jawapan
(x + 2)² = x(x + 5), maka x² + 4x + 4 = x² + 5x dan x = 4.
Sebutannya ialah 4, 6, 9, jadi r = 3/2. Semakan: 6 ÷ 4 = 1.5 dan 9 ÷ 6 = 1.5.
9. Cari hasil tambah hingga ketakterhinggaan bagi 50 − 10 + 2 − …, dan nyatakan sama ada 5 + 7.5 + 11.25 + … mempunyainya.
Lihat jawapan
Bagi siri pertama, r = −10 ÷ 50 = −1/5 dan |r| < 1. S∞ = 50 ÷ (1 + 1/5) = 50 ÷ 6/5 = 250/6 = 125/3 (kira-kira 41.7).
Bagi siri kedua, r = 7.5 ÷ 5 = 1.5, dan |r| > 1, jadi ia tidak mempunyai hasil tambah tak terhingga.
10. Sebuah siri geometri mempunyai sebutan ke-2 ialah 6 dan hasil tambah hingga ketakterhinggaan 25. Cari semua nilai r yang mungkin dan sebutan pertama.
Lihat jawapan
ar = 6 dan a/(1 − r) = 25. Daripada yang kedua, a = 25(1 − r). Gantikan: 25r(1 − r) = 6, maka 25r² − 25r + 6 = 0.
Kemudian (5r − 2)(5r − 3) = 0, maka r = 2/5 atau r = 3/5. Kedua-duanya memenuhi |r| < 1.
Jika r = 2/5, maka a = 25 × 3/5 = 15. Jika r = 3/5, maka a = 25 × 2/5 = 10. Semakan: 15 × 2/5 = 6 dan 15 ÷ (3/5) = 25; 10 × 3/5 = 6 dan 10 ÷ (2/5) = 25. Jadi (a, r) = (15, 2/5) atau (10, 3/5).
11. Aina menyimpan RM100 pada bulan 1 dan RM15 lebih setiap bulan berbanding bulan sebelumnya. Berapakah jumlah simpanannya selepas 12 bulan, dan pada bulan yang manakah simpanannya pertama kali melebihi RM400?
Lihat jawapan
Ini janjang aritmetik dengan a = 100 dan d = 15. S12 = 12/2 × (200 + 11 × 15) = 6 × 365 = RM2190.
Bagi simpanan bulanan, 100 + 15(n − 1) > 400 memberi n − 1 > 20, maka n > 21. Bulan ke-21 memberi tepat RM400, yang tidak melebihinya. Bulan ke-22 memberi RM415, jadi bulan ke-22.
12. Sebiji bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Selepas setiap lantunan, ia naik setinggi 60% daripada ketinggian jatuhan sebelumnya. Cari jumlah jarak yang dilalui sebelum bola berhenti.
Lihat jawapan
Jatuhan pertama ialah 10 m. Selepas itu, setiap naikan dan setiap jatuhan meliputi ketinggian yang sama, jadi jaraknya ialah 10 + 2 × (6 + 3.6 + 2.16 + …).
Kurungan itu geometri dengan a = 6 dan r = 0.6, maka hasil tambahnya 6 ÷ 0.4 = 15. Jumlah = 10 + 2 × 15 = 40 m.
Semakan: 6 ÷ 0.4 = 15, dan beberapa sebutan pertama 6 + 3.6 + 2.16 = 11.76 sudah bergerak menuju 15.
Jika anda tersilap
Gunakan nombor soalan untuk mencari pelajaran yang perlu dikaji semula.
- Sebutan atau sebutan pertama salah (1, 3, 7): baca mencari sebutan daripada dua syarat, terutamanya kesilapan n berbanding n − 1.
- Hasil tambah tersasar satu atau dua sebutan (2, 4, 11): baca mengira hasil tambah terhingga janjang aritmetik dan kira semula n.
- Terlepas nisbah kedua, atau salah punca (3, 6, 8): baca mencari nisbah sepunya daripada sebutan.
- Formula memberi jawapan ganjil (9, 10, 12): baca menggunakan hasil tambah tak terhingga hanya apabila syaratnya dipenuhi.
- Tersekat di permulaan soalan panjang (7, 10, 11): baca menyelesaikan masalah gabungan sebutan dan hasil tambah dan tulis rancangan sebelum sebarang algebra.
Latihan pengiraan tanpa kalkulator juga boleh membantu jika algebra betul tetapi aritmetik tergelincir. Kembali ke ringkasan modul untuk laluan penuh.
Jika dua atau tiga soalan yang sama kekal sukar selepas anda mengkaji semula pelajaran, bawa percubaan bertulis anda ke tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu, yang mana guru boleh mengesan langkah tepat yang tersasar.