Soalan jujukan sering memberi dua syarat, contohnya “sebutan ke-5 ialah 17 dan sebutan ke-12 ialah 38”, kemudian meminta sebutan lain atau hasil tambah. Rancangannya sentiasa sama: tulis setiap syarat sebagai persamaan dalam sebutan pertama dan beza sepunya (atau nisbah sepunya), selesaikan pasangan itu, kemudian jawab soalan yang ditanya.
Ini kemahiran pembuka bagi siri aritmetik dan geometri dan ia menyokong setiap pelajaran lain dalam modul ini.
Bagaimana dua sebutan menentukan sesuatu jujukan?
Janjang aritmetik (arithmetic progression) ditentukan oleh sebutan pertama a dan beza sepunya (common difference) d. Sebutan ke-n ialah a + (n − 1)d. Janjang geometri (geometric progression) ditentukan oleh a dan nisbah sepunya (common ratio) r, dan sebutan ke-n ialah arn−1.
“Tolak satu” itu penting. Sebutan pertama tidak ditambah d, sebutan kedua ditambah satu d, dan sebutan ke-n ditambah n − 1 kali d. Kebanyakan kesilapan dalam topik ini bermula daripada satu nombor itu.
Bagaimana menukar syarat kepada persamaan?
- Tulis peraturan sebutan ke-n bagi jenis janjang itu.
- Gantikan setiap kedudukan ke dalam peraturan. Sebutan ke-5 menggunakan n = 5, maka ia menjadi a + 4d.
- Selesaikan pasangan itu. Untuk janjang aritmetik, tolak satu persamaan daripada yang lain supaya a hilang.
- Cari anu yang satu lagi dengan penggantian semula.
- Semak kedua-dua syarat asal, kemudian jawab apa yang ditanya.
Contoh berlangkah
Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan ke-5 ialah 17 dan sebutan ke-12 ialah 38. Cari sebutan pertama, beza sepunya dan sebutan ke-20.
Langkah 1, persamaan: a + 4d = 17 dan a + 11d = 38.
Langkah 2, tolak: (a + 11d) − (a + 4d) = 38 − 17, maka 7d = 21 dan d = 3.
Langkah 3, cari a: a + 4(3) = 17, maka a = 5.
Langkah 4, semak: sebutan ke-5 = 5 + 12 = 17. Sebutan ke-12 = 5 + 33 = 38. Kedua-duanya betul.
Langkah 5, jawapan: sebutan ke-20 ialah 5 + 19(3) = 5 + 57 = 62.
Jadi a = 5, d = 3 dan sebutan ke-20 ialah 62.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menggunakan n dan bukannya n − 1, sehingga sebutan ke-5 ditulis sebagai a + 5d.
Kerja yang salah: a + 5d = 17 dan a + 12d = 38. Penolakan memberi 7d = 21, maka d = 3. Kemudian a + 15 = 17, maka a = 2.
Nilai d masih betul kerana kedua-dua persamaan beralih bersama. Sebutan pertama salah, lalu sebutan ke-20 menjadi 2 + 19(3) = 59 dan bukannya 62.
Pembetulannya ialah bertanya “berapa langkah d memisahkan sebutan ini daripada sebutan pertama?” Sebutan ke-5 berjarak empat langkah daripada yang pertama, bukan lima. Semakan dalam ayat asal akan mengesannya: 2 + 4(3) = 14, bukan 17.
Semak diri anda
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan ke-3 ialah 11 dan sebutan ke-8 ialah 31. Cari sebutan ke-15.
Lihat jawapan
a + 2d = 11 dan a + 7d = 31. Penolakan memberi 5d = 20, maka d = 4. Kemudian a = 11 − 8 = 3.
Sebutan ke-15 = 3 + 14(4) = 59. Semakan: sebutan ke-3 = 3 + 8 = 11 dan sebutan ke-8 = 3 + 28 = 31.
2. Sebuah janjang geometri mempunyai sebutan ke-2 ialah 6 dan sebutan ke-5 ialah 162. Cari sebutan ke-7.
Lihat jawapan
ar = 6 dan ar4 = 162. Pembahagian memberi r3 = 27, maka r = 3. Kemudian a = 6 ÷ 3 = 2.
Sebutan ke-7 = 2 × 36 = 2 × 729 = 1458. Semakan: ar4 = 2 × 81 = 162.
3. Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan ke-4 ialah 1 dan sebutan ke-10 ialah −17. Yang manakah sebutan pertama yang negatif, dan berapakah nilainya?
Lihat jawapan
a + 3d = 1 dan a + 9d = −17. Penolakan memberi 6d = −18, maka d = −3, dan a = 1 + 9 = 10.
Sebutan ialah 10, 7, 4, 1, −2, … jadi sebutan negatif pertama ialah sebutan ke-5, iaitu −2. Semakan: sebutan ke-10 = 10 − 27 = −17.
Langkah seterusnya
Setelah anda boleh mencari a dan d dengan tepat, gunakannya untuk mencari jumlah dalam mengira hasil tambah terhingga janjang aritmetik. Makmal jujukan dan siri membolehkan anda menguji nilai sendiri, dan latihan pengiraan tanpa kalkulator membina kelajuan dalam aritmetik.
Sesetengah pelajar boleh melakukan algebra tetapi kehilangan markah semasa menukar ayat kepada persamaan. Itulah corak yang dicari oleh guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu.