数列题常给出两个条件，例如”第 5 项是 17，第 12 项是 38”，再问另一项或总和。思路永远相同：把每个条件写成关于首项和公差（或公比）的方程，解出这一对方程，再回答题目所问。
这是等差与等比级数的入门技能，本单元其他课都要用到它。
两项如何确定整个数列？
等差数列由首项 a 和公差（common difference）d 决定，第 n 项是 a + (n − 1)d。等比数列（geometric progression）由 a 和公比（common ratio）r 决定，第 n 项是 arn−1。
这个”减一”很关键。第一项没有加 d，第二项加了一个 d，第 n 项加了 n − 1 个 d。这个单元里的大多数错误都从这一个数字开始。
如何把条件变成方程？
- 写出通项公式，按数列类型选用。
- 代入每个位置。第 5 项用 n = 5，所以变成 a + 4d。
- 解这对方程。等差数列中，把两条方程相减，a 就消去了。
- 代回求另一个未知数。
- 用两个原始条件检查，然后回答题目所问。
例题详解
一个等差数列的第 5 项是 17，第 12 项是 38。求首项、公差和第 20 项。
第一步，列方程： a + 4d = 17 和 a + 11d = 38。
第二步，相减： (a + 11d) − (a + 4d) = 38 − 17，所以 7d = 21，d = 3。
第三步，求 a： a + 4(3) = 17，所以 a = 5。
第四步，检查： 第 5 项 = 5 + 12 = 17，第 12 项 = 5 + 33 = 38，两者都吻合。
第五步，作答： 第 20 项是 5 + 19(3) = 5 + 57 = 62。
所以 a = 5，d = 3，第 20 项是 62。
要留意的错误
常见的失误是用 n 而不是 n − 1，把第 5 项写成 a + 5d。
错误做法： a + 5d = 17 和 a + 12d = 38。相减得 7d = 21，所以 d = 3。再由 a + 15 = 17 得 a = 2。
d 仍然正确，因为两条方程一起移动了。但首项是错的，于是第 20 项变成 2 + 19(3) = 59，而不是 62。
改正的方法是问自己”这一项与第一项之间隔了几个 d？“第 5 项离第一项是四步，不是五步。回到原句检查就能发现：2 + 4(3) = 14，不是 17。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 一个等差数列的第 3 项是 11，第 8 项是 31。求第 15 项。
查看答案
a + 2d = 11 和 a + 7d = 31。相减得 5d = 20，所以 d = 4。再得 a = 11 − 8 = 3。
第 15 项 = 3 + 14(4) = 59。检查：第 3 项 = 3 + 8 = 11，第 8 项 = 3 + 28 = 31。
2. 一个等比数列的第 2 项是 6，第 5 项是 162。求第 7 项。
查看答案
ar = 6 和 ar4 = 162。相除得 r3 = 27，所以 r = 3。再得 a = 6 ÷ 3 = 2。
第 7 项 = 2 × 36 = 2 × 729 = 1458。检查：ar4 = 2 × 81 = 162。
3. 一个等差数列的第 4 项是 1，第 10 项是 −17。第一个负数项是哪一项？它的值是多少？
查看答案
a + 3d = 1 和 a + 9d = −17。相减得 6d = −18，所以 d = −3，a = 1 + 9 = 10。
各项是 10, 7, 4, 1, −2, …，所以第一个负数项是第 5 项，值为 −2。检查：第 10 项 = 10 − 27 = −17。
下一步
当你能稳定地求出 a 和 d，就可以用它们求总和，见计算有限等差数列的和。数列与级数实验室让你测试自己的数值，无计算器运算训练则帮你提高运算速度。
有些学生代数没问题，却在把句子翻译成方程时失分。这正是我们的老师在附加数学线上一对一补习中会留意的模式。