这组练习有十二道原创题，由易到难，涵盖等差与等比级数的全部五课。第 1 至 4 题是等差数列的项和求和，第 5 至 7 题用到等比的公比与有限项之和，第 8 至 10 题涉及条件或无穷项之和，第 11 和 12 题是应用题。
请在纸上做每一题，打开解答前先用原始条件检查你的答案。手算之后，可用数列与级数实验室核对，错误记录与重测队列则帮你追踪错误。
标出做错的题目，再使用最后的对照清单。
题目
1. 一个等差数列的首项是 5，公差是 3。求第 30 项。
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第 30 项 = 5 + 29 × 3 = 5 + 87 = 92。
检查：第 1 项是 5，之后有 29 个 3，所以 5 + 87 = 92。
2. 求 7 + 12 + 17 + … 的前 25 项之和。
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a = 7，d = 5。S25 = 25/2 × (14 + 24 × 5) = 25/2 × 134 = 25 × 67 = 1675。
检查：末项 = 7 + 120 = 127，25/2 × (7 + 127) = 25/2 × 134 = 1675。
3. 一个等比数列的第 4 项是 24，第 7 项是 192。求 r 和首项。
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ar³ = 24 和 ar⁶ = 192。相除得 r³ = 8，所以 r = 2。再由 8a = 24 得 a = 3。
检查：3, 6, 12, 24, 48, 96, 192，第 4 项是 24，第 7 项是 192。
4. 等差数列 2, 9, 16, … 以 93 结束。共有多少项？它们的和是多少？
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d = 7。解 2 + 7(n − 1) = 93，得 7(n − 1) = 91，n − 1 = 13。所以 n = 14。
S = 14/2 × (2 + 93) = 7 × 95 = 665。检查：首末项的平均是 47.5，14 × 47.5 = 665。
5. 求等比数列 3, 6, 12, … 的前 8 项之和。
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a = 3，r = 2。S8 = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 3 × 255 = 765。
逐项相加检查：3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765。
6. 一个等比数列的第 2 项是 12，第 4 项是 48。写出 a 与 r 所有可能的取值组合。
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ar = 12 和 ar³ = 48。相除得 r² = 4，所以 r = 2 或 r = −2。
若 r = 2，则 a = 6；若 r = −2，则 a = −6。两组都成立：6, 12, 24, 48 与 −6, 12, −24, 48。所以 (a, r) = (6, 2) 或 (−6, −2)。
7. 一个等差数列的第 4 项是 11，前 10 项之和是 155。求 a 和 d。
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a + 3d = 11 和 10/2 × (2a + 9d) = 155，所以 2a + 9d = 31。由第一条得 a = 11 − 3d。再得 22 − 6d + 9d = 31，所以 d = 3，a = 2。
检查：各项 2, 5, 8, 11，第 4 项是 11。S10 = 5 × (4 + 27) = 155。
8. x、x + 2、x + 5 是等比数列的连续项。求 x 和 r。
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(x + 2)² = x(x + 5)，所以 x² + 4x + 4 = x² + 5x，x = 4。
各项是 4, 6, 9，所以 r = 3/2。检查：6 ÷ 4 = 1.5，9 ÷ 6 = 1.5。
9. 求 50 − 10 + 2 − … 的无穷项之和，并说明 5 + 7.5 + 11.25 + … 是否有无穷项之和。
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第一个级数中，r = −10 ÷ 50 = −1/5，|r| < 1。S∞ = 50 ÷ (1 + 1/5) = 50 ÷ 6/5 = 250/6 = 125/3（约 41.7）。
第二个级数中，r = 7.5 ÷ 5 = 1.5，|r| > 1，所以没有无穷项之和。
10. 一个等比级数的第 2 项是 6，无穷项之和是 25。求 r 所有可能的值以及首项。
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ar = 6 和 a/(1 − r) = 25。由第二条得 a = 25(1 − r)。代入：25r(1 − r) = 6，所以 25r² − 25r + 6 = 0。
于是 (5r − 2)(5r − 3) = 0，r = 2/5 或 r = 3/5，两者都满足 |r| < 1。
若 r = 2/5，则 a = 25 × 3/5 = 15；若 r = 3/5，则 a = 25 × 2/5 = 10。检查：15 × 2/5 = 6，15 ÷ (3/5) = 25；10 × 3/5 = 6，10 ÷ (2/5) = 25。所以 (a, r) = (15, 2/5) 或 (10, 3/5)。
11. 阿伊娜第 1 个月存 RM100，之后每个月比前一个月多存 RM15。12 个月后她一共存了多少？哪一个月的存款额首次超过 RM400？
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这是 a = 100、d = 15 的等差数列。S12 = 12/2 × (200 + 11 × 15) = 6 × 365 = RM2190。
至于月存款额，100 + 15(n − 1) > 400 得 n − 1 > 20，所以 n > 21。第 21 个月刚好是 RM400，没有超过。第 22 个月是 RM415，所以是第 22 个月。
12. 一个球从 10 m 高处落下。每次反弹后，球升到前一次下落高度的 60%。求球静止之前经过的总距离。
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第一次下落是 10 m。之后，每次上升和每次下落的高度相同，所以距离是 10 + 2 × (6 + 3.6 + 2.16 + …)。
括号里是 a = 6、r = 0.6 的等比级数，和为 6 ÷ 0.4 = 15。总距离 = 10 + 2 × 15 = 40 m。
检查：6 ÷ 0.4 = 15，前几项 6 + 3.6 + 2.16 = 11.76 已在向 15 靠近。
做错了怎么办
用题号找出需要回头复习的那一课。
- 项或首项错了（第 1、3、7 题）： 阅读由两个条件求数列的某一项，尤其是 n 与 n − 1 的错误。
- 和差了一两项（第 2、4、11 题）： 阅读计算有限等差数列的和，重新数项数。
- 漏掉第二个公比或开方出错（第 3、6、8 题）： 阅读由各项求等比数列的公比。
- 公式得出奇怪的答案（第 9、10、12 题）： 阅读只在条件成立时使用无穷项之和。
- 长题一开始就卡住（第 7、10、11 题）： 阅读解项与和的综合题，写任何代数之前先写计划。
如果代数没错但运算出了岔子，无计算器运算训练也能帮上忙。完整路线请回到单元概览。
如果回头复习课程后，同样的两三道题仍然困难，可以把你的书面解答带到附加数学线上一对一补习，由老师找出究竟是哪一步出了问题。