这十二道题都是原创的，由易到难。内容包括读圆方程、配方、交点、切线、相切条件和建立方程。先在纸上做每一道题，再打开详解。
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热身：读圆和配方
1. 写出 (x − 3)² + (y + 5)² = 49 的圆心和半径。
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圆心的 x = 3，y = −5，r² = 49。
圆心 (3, −5)，半径 7。
2. 求 x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0 的圆心和半径。
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(x² − 10x + 25) + (y² + 4y + 4) = −13 + 25 + 4，所以 (x − 5)² + (y + 2)² = 16。
圆心 (5, −2)，半径 4。
3. 求 3x² + 3y² + 6x − 12y − 12 = 0 的圆心和半径。
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除以 3：x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0。然后 (x + 1)² + (y − 2)² = 4 + 1 + 4 = 9。
圆心 (−1, 2)，半径 3。
4. 说明为什么 x² + y² − 6x + 2y + 15 = 0 不是圆的方程。
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(x − 3)² + (y + 1)² = −15 + 9 + 1 = −5。两个平方之和不可能是负数，所以不存在圆。
核心：交点和切线
5. 求直线 y = x + 2 与圆 x² + y² = 20 的交点。
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x² + (x + 2)² = 20 得 2x² + 4x − 16 = 0，所以 x² + 2x − 8 = 0，(x + 4)(x − 2) = 0。于是 x = 2 或 x = −4。
由 y = x + 2：y = 4 或 y = −2。
交点 (2, 4) 和 (−4, −2)。检查：4 + 16 = 20 ✓，16 + 4 = 20 ✓。
6. 画出直线 y = 2x + 8 和圆 x² + y² = 16。用判别式证明直线与圆相交两次，再求交点。
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x² + (2x + 8)² = 16 得 5x² + 32x + 48 = 0。
判别式：32² − 4 × 5 × 48 = 1024 − 960 = 64，为正，所以有两个交点。
x = (−32 ± 8) ÷ 10，所以 x = −2.4 或 x = −4。然后 y = 2(−2.4) + 8 = 3.2，y = 2(−4) + 8 = 0。
交点 (−2.4, 3.2) 和 (−4, 0)。检查：5.76 + 10.24 = 16 ✓，16 + 0 = 16 ✓。
7. 求圆 (x − 1)² + (y + 1)² = 13 在点 (3, 2) 的切线方程。
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检查点：2² + 3² = 13 ✓。从 (1, −1) 到 (3, 2) 的半径斜率是 3/2，所以切线斜率是 −2/3。
y − 2 = −2/3 (x − 3)，所以 3y − 6 = −2x + 6。
2x + 3y = 12。检查：6 + 6 = 12。✓
8. 圆 x² + y² − 6x − 8y = 0 经过原点。求在原点的切线方程。
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配方：(x − 3)² + (y − 4)² = 25，所以圆心是 (3, 4)。从圆心到 (0, 0) 的半径斜率是 4/3，所以切线斜率是 −3/4。
直线经过原点，所以 y = −3/4 x，即 3x + 4y = 0。
检查：(3, 4) 到直线的距离是 |9 + 16| ÷ 5 = 5，等于半径。✓
挑战：参数与构造
9. 求 k 的值，使 y = 3x + k 与 x² + y² = 10 相切。
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x² + (3x + k)² = 10 得 10x² + 6kx + k² − 10 = 0。
判别式：36k² − 40(k² − 10) = 400 − 4k²。令其为 0：k² = 100。
k = 10 或 k = −10。检查：|k| ÷ √10 = √10，得 |k| = 10。✓
10. 已知直线 y = 2x + k 和圆 (x − 1)² + y² = 5。求使直线与圆相切的 k 值，并写出直线与圆相交两次时 k 的范围。
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(x − 1)² + (2x + k)² = 5 得 5x² + (4k − 2)x + k² − 4 = 0。
判别式：(4k − 2)² − 20(k² − 4) = 16k² − 16k + 4 − 20k² + 80 = −4k² − 16k + 84。
令其为 0：k² + 4k − 21 = 0，所以 (k + 7)(k − 3) = 0，k = 3 或 k = −7。
相交两点时判别式为正，所以 k² + 4k − 21 < 0，得 −7 < k < 3。
检查 k = 0：判别式 84 > 0 ✓。
11. 写出以 PQ 为直径的圆的方程，其中 P 是 (−3, 2)，Q 是 (5, −4)。
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圆心（中点）：(1, −1)。PQ² = 8² + 6² = 100，所以 PQ = 10，r = 5。
(x − 1)² + (y + 1)² = 25。检查：P 得 16 + 9 = 25 ✓，Q 得 16 + 9 = 25 ✓。
12. 一个圆经过 O(0, 0)、A(8, 0) 和 B(0, 6)。求它的方程、圆心和半径，并说明为什么 AB 是直径。
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设方程为 x² + y² + Dx + Ey + F = 0。O 在圆上，所以 F = 0。
A：64 + 8D = 0，所以 D = −8。B：36 + 6E = 0，所以 E = −6。
x² + y² − 8x − 6y = 0 化为 (x − 4)² + (y − 3)² = 25。圆心 (4, 3)，半径 5。
AB 的长度是 √(64 + 36) = 10，等于半径的两倍。AB 的中点是 (4, 3)，正是圆心，所以 AB 是直径。这与 O 处的直角一致。
如果你做错了
| 哪里出了问题 | 回到 |
|---|---|
| 圆心符号错，或把 r² 当成 r（第 1 到 4 题） | 用配方求圆心和半径 |
| 展开括号时漏项，或第二个坐标错（第 5、6 题） | 求直线与圆的交点 |
| 把半径斜率当成切线斜率（第 7、8 题） | 利用切线垂直于半径 |
| 只求出一个 k 值，或用了大于零（第 9、10 题） | 解出相切的参数条件 |
| 把直径当成半径，或求不出圆心（第 11、12 题） | 把几何条件转换成圆的方程 |
用直线与圆交点探索器观察每一种交点情形，用无计算器运算训练器练习精确运算。把每个错误记在错题记录与重测队列，几天后再做一道类似的题。
如果第 9 到 12 题是你进度变慢的地方，差距通常在于选择方案，而不是做代数。老师可以在一对一线上附加数学补习中陪你练习这一点。