Mengabaikan sekatan domain bermakna memberi jawapan yang algebranya betul tetapi salah untuk sesetengah nilai input. Ini salah satu punca soalan fungsi kehilangan markah dalam Additional Mathematics, kerana sekatan mudah tercicir semasa ungkapan dipermudahkan.
Penyelesaiannya ialah rutin ringkas: tulis sekatan dahulu, bawa sehingga akhir, dan nyatakannya pada penghujung.
Mengapa sekatan hilang?
Kebanyakan pelajar mempelajari fungsi sebagai peraturan untuk digunakan: ganti, kembangkan, permudah. Tiada apa dalam proses itu yang memaksa anda bertanya nilai input mana yang dibenarkan.
Pemudahan memburukkan keadaan.
Punca kuasa dua yang dikuasakan dua, atau pecahan yang dibatalkan, kelihatan seperti ungkapan bersih yang sah di mana-mana. Sebenarnya tidak. Fungsi asal menentukan domain, dan bentuk yang dipermudahkan tidak memadamkannya.
Apakah yang perlu disemak dahulu?
Sebelum memulakan penyelesaian, imbas fungsi itu untuk had yang lazim.
- Penyebut: tidak boleh sama dengan sifar. Selesaikan “penyebut = 0” dan kecualikan nilai itu.
- Punca kuasa dua: ungkapan di dalamnya mesti sifar atau positif. Selesaikan “dalam punca ≥ 0”.
- Domain yang dinyatakan: jika soalan memberinya, misalnya x ≥ 0, ia sentiasa terpakai.
Tulis had ini sebagai baris pertama penyelesaian. Baris itulah yang anda bawa hingga akhir.
Contoh berlangkah: fungsi gubahan (composite function)
Diberi f(x) = √(x − 1) dan g(x) = x². Cari fg(x) dan nyatakan domainnya. (fg(x) bermaksud f(g(x)).)
Langkah 1. Letakkan g(x) dalam f: fg(x) = √(x² − 1).
Langkah 2. Ungkapan di bawah punca mesti sifar atau positif: x² − 1 ≥ 0.
Langkah 3. Faktorkan: (x − 1)(x + 1) ≥ 0. Nilai genting ialah x = −1 dan x = 1. Hasil darab positif di luar kedua-duanya dan sifar pada kedua-duanya.
Langkah 4. Domain ialah x ≤ −1 atau x ≥ 1.
Semakan: x = 0 memberi √(−1), tidak tertakrif, jadi 0 wajar dikecualikan. x = 2 dan x = −2 kedua-duanya memberi √3 dan dibenarkan.
Apakah kesilapan yang munasabah?
Pelajar berfikir: “g(x) = x² menerima semua nombor nyata, jadi fg juga menerima semua nombor nyata.” Mereka menulis “domain: semua x nyata”.
Ini salah kerana domain fungsi gubahan memerlukan fungsi luar menerima apa yang dihasilkan fungsi dalam. g boleh menghasilkan 0, tetapi f(0) = √(−1) tidak wujud. Pembetulannya: gantikan fungsi dalam, kemudian uji sekatan fungsi luar pada keseluruhan ungkapan, seperti langkah 2 hingga 4.
Susunan terbalik menunjukkan perangkap yang sama. gf(x) = (√(x − 1))² dipermudahkan kepada x − 1, tetapi hanya sah untuk x ≥ 1 kerana f tidak boleh menerima nilai yang lebih kecil. Rupa x − 1 yang ringkas menyembunyikan sekatan itu.
Contoh berlangkah: fungsi songsang (inverse) perlukan domain
h(x) = x² − 4 dengan domain x ≥ 0. Cari h⁻¹(x) dan domainnya.
Tulis y = x² − 4, maka x² = y + 4 dan x = √(y + 4). Kita ambil punca positif kerana domain asal ialah x ≥ 0. Jadi h⁻¹(x) = √(x + 4).
Domain h⁻¹ ialah julat (range) h. Oleh sebab h(0) = −4 dan h menokok untuk x ≥ 0, julatnya ialah h(x) ≥ −4. Maka domain h⁻¹ ialah x ≥ −4.
Semakan: h(3) = 9 − 4 = 5 dan h⁻¹(5) = √9 = 3. Kedua-dua fungsi saling membatalkan.
Semakan kendiri
- Nyatakan domain terbesar bagi f(x) = (x + 5)/(x² − 9).
- Nyatakan domain terbesar bagi g(x) = √(6 − 2x).
- Jika f(x) = √x dan g(x) = x − 4, cari fg(x) dan domainnya.
Tunjuk jawapan
- Penyebut sifar apabila x² = 9, iaitu x = 3 atau x = −3. Domain: semua x nyata kecuali x = 3 dan x = −3.
- Kita perlukan 6 − 2x ≥ 0, jadi x ≤ 3.
- fg(x) = √(x − 4). Kita perlukan x − 4 ≥ 0, jadi domain ialah x ≥ 4.
Bagaimana membina tabiat ini?
Gunakan pembukaan tiga baris yang sama setiap kali: senaraikan sekatan, lakukan algebra, bandingkan jawapan dengan sekatan. Anda boleh menguji fungsi sendiri dalam penjelajah gubahan dan songsang fungsi dan berlatih kerja tepat untuk bahagian aritmetik.
Semua pelajaran ada dalam fungsi dan sekatan. Mulakan dengan mencari input yang sah dan pelajaran fungsi gubahan dalam susunan yang betul. Istilah seperti domain, julat dan pemetaan banyak-kepada-satu dijelaskan dalam panduan istilah Additional Mathematics.
Jika masalah ini berulang walaupun anda sudah mempunyai rutin, tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu membolehkan guru melihat dengan tepat di mana penyelesaian anda menggugurkan sekatan. Semak topik yang dilitupi tahun peperiksaan anda di laman subjek Cambridge yang dipautkan di bawah.