忽略定义域限制，意思是代数做得对，但答案对某些输入值并不成立。 这是 Additional Mathematics 函数题常见的失分原因，因为限制条件很容易在化简时被丢掉。
解决方法是一个简短的固定流程：先写出限制条件，带着它做完，最后明确写出来。
限制条件为什么会消失？
大多数学生把函数当作一套规则来套用：代入、展开、化简。这个过程本身不会提醒你问：“哪些输入是允许的？”
化简会让情况更糟。
平方根再平方，或者分式约分后，式子看起来很干净，好像对所有值都成立。其实不是。定义域由原函数决定，化简并不会把它抹掉。
解题前先检查什么？
开始写解答之前，先扫一遍函数，看有没有这些常见限制。
- 分母：不能等于零。解 “分母 = 0”，把这些值排除。
- 平方根：里面的式子必须大于或等于零。解 “根号内 ≥ 0”。
- 题目给出的定义域：例如 x ≥ 0，永远有效。
把这些限制写成解答的第一行。这一行就是你要一路带到最后的东西。
例题：复合函数（composite function）
设 f(x) = √(x − 1)，g(x) = x²。求 fg(x) 并写出它的定义域。（fg(x) 表示 f(g(x))。）
第 1 步。 把 g(x) 放进 f：fg(x) = √(x² − 1)。
第 2 步。 根号里面必须大于或等于零：x² − 1 ≥ 0。
第 3 步。 因式分解：(x − 1)(x + 1) ≥ 0。临界值是 x = −1 和 x = 1。乘积在这两个值之外为正，在这两个值处为零。
第 4 步。 定义域是 x ≤ −1 或 x ≥ 1。
检查： x = 0 得到 √(−1)，没有意义，所以 0 被正确排除。x = 2 和 x = −2 都得到 √3，是允许的。
常见的错误是什么？
学生这样想：“g(x) = x² 接受所有实数，所以 fg 也接受所有实数。“于是写下”定义域：所有实数 x”。
错误在于：复合函数的定义域要求外层函数能接受内层函数的输出。g 可以输出 0，但 f(0) = √(−1) 不存在。正确做法是先代入内层函数，再对整个式子检验外层函数的限制，就像第 2 到第 4 步那样。
反过来的顺序也有同样的陷阱。gf(x) = (√(x − 1))² 化简为 x − 1，但它只在 x ≥ 1 时有效，因为 f 不能接受更小的值。x − 1 看起来很普通，却把限制藏起来了。
例题：反函数（inverse）需要定义域
h(x) = x² − 4，定义域 x ≥ 0。求 h⁻¹(x) 及其定义域。
写 y = x² − 4，则 x² = y + 4，x = √(y + 4)。因为原定义域是 x ≥ 0，所以取正根。于是 h⁻¹(x) = √(x + 4)。
h⁻¹ 的定义域就是 h 的值域。h(0) = −4，且 h 在 x ≥ 0 时递增，所以值域是 h(x) ≥ −4。因此 h⁻¹ 的定义域是 x ≥ −4。
检查： h(3) = 9 − 4 = 5，h⁻¹(5) = √9 = 3。两个函数互相抵消。
自我检测
- 写出 f(x) = (x + 5)/(x² − 9) 的最大定义域。
- 写出 g(x) = √(6 − 2x) 的最大定义域。
- 设 f(x) = √x，g(x) = x − 4，求 fg(x) 及其定义域。
显示答案
- 当 x² = 9 时分母为零，即 x = 3 或 x = −3。定义域：除 x = 3 和 x = −3 外的所有实数。
- 需要 6 − 2x ≥ 0，所以 x ≤ 3。
- fg(x) = √(x − 4)。需要 x − 4 ≥ 0，所以定义域是 x ≥ 4。
怎样养成习惯？
每次都用同样的三行开头：列出限制、做代数、拿答案对照限制。你可以在函数复合与反函数探索器中测试自己的函数，也可以用无计算器解题训练器练习算术部分。
完整的课程在函数与限制。先从找出有效输入值开始，再看按正确顺序构成复合函数。定义域、值域、多对一等词汇在 Additional Mathematics 术语指南中有解释。
如果用了这个流程仍然反复出错，线上一对一 Additional Mathematics 补习可以让老师准确看出你的解题过程在哪里丢掉了限制。你的考试年份涵盖哪些课题，请到下方链接的 Cambridge 科目页面确认。