Apabila soalan memberi perimeter sektor bersama luas atau panjang lain, tulis setiap syarat sebagai persamaan dan singkirkan θ. Pelajaran dalam radian, lengkok dan sektor ini menggunakan formula panjang lengkok dan luas sektor serentak, dan biasanya berakhir dengan persamaan kuadratik.
Bagaimana menukar ayat kepada persamaan?
Bagi sektor berjejari r dan bersudut θ dalam radian:
- Perimeter: P = 2r + rθ (dua jejari dan lengkok).
- Luas: A = ½r²θ.
- Kaitan utama: lengkok ialah s = rθ, maka A = ½ r s.
Helahnya ialah menggunakan perimeter untuk menulis lengkok dalam sebutan r: rθ = P − 2r. Kemudian luas menjadi A = ½ r (P − 2r), yang hanya mempunyai satu anu.
Bagaimana menyelesaikannya, langkah demi langkah?
- Tulis persamaan perimeter dan asingkan lengkok: rθ = P − 2r.
- Tulis luas sebagai ½ r × (lengkok) dan ganti lengkok daripada langkah 1.
- Bentuk kuadratik dalam r dan selesaikan dengan pemfaktoran atau rumus. Penjelajah struktur kuadratik membolehkan anda menyemak punca.
- Cari θ bagi setiap r menggunakan θ = lengkok ÷ r.
- Semak setiap pasangan dengan syarat asal, dan pastikan 0 < θ ≤ 2π.
Contoh berlangkah
Sebuah sektor berperimeter 24 cm dan berluas 32 cm². Cari jejari yang mungkin dan sudut yang sepadan.
Langkah 1, perimeter: 2r + rθ = 24, maka lengkok rθ = 24 − 2r.
Langkah 2, luas: ½ r (24 − 2r) = 32, maka r(12 − r) = 32.
Langkah 3, kuadratik: 12r − r² = 32, maka r² − 12r + 32 = 0. Faktorkan: (r − 4)(r − 8) = 0, maka r = 4 atau r = 8.
Langkah 4, sudut: jika r = 4, lengkok = 24 − 8 = 16, maka θ = 16/4 = 4 rad. Jika r = 8, lengkok = 24 − 16 = 8, maka θ = 8/8 = 1 rad.
Langkah 5, semak: r = 4, θ = 4: perimeter 8 + 16 = 24 ✓, luas ½ × 16 × 4 = 32 ✓. r = 8, θ = 1: perimeter 16 + 8 = 24 ✓, luas ½ × 64 × 1 = 32 ✓. Kedua-dua sudut kurang daripada 2π, maka kedua-duanya sah.
Jawapannya ialah r = 4 cm dengan θ = 4 rad, atau r = 8 cm dengan θ = 1 rad.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah terlupa dua jejari dalam perimeter.
Kerja yang silap: perimeter = rθ = 24, maka lengkok ialah 24 cm.
Ini menganggap lengkok sebagai keseluruhan perimeter. Tepi lurus menambah 2r, jadi lengkok ialah 24 − 2r, dan ini mengubah setiap baris selepasnya.
Pembetulannya ialah melakar sektor dan menyusur sempadannya dengan jari: jejari, lengkok, jejari. Tulis “2r + lengkok” sebelum sebarang penggantian.
Semak kendiri
1. Sebuah sektor berjejari 9 cm dan berperimeter 30 cm. Cari sudut dalam radian.
Lihat jawapan
Lengkok = 30 − 2 × 9 = 12. θ = lengkok ÷ r = 12/9 = 4/3.
θ = 4/3 rad (1.33 betul kepada 3 angka bererti).
2. Sebuah sektor bersudut 1 rad dan berperimeter 18 cm. Cari jejarinya.
Lihat jawapan
P = 2r + r × 1 = 3r = 18, maka r = 6.
6 cm. Semakan: lengkok = 6, perimeter = 12 + 6 = 18. ✓
3. Sebuah sektor berperimeter 20 cm dan berluas 25 cm². Cari jejari dan sudut, dan terangkan mengapa hanya ada satu jawapan.
Lihat jawapan
Lengkok = 20 − 2r, maka ½ r (20 − 2r) = 25, memberi r(10 − r) = 25, jadi r² − 10r + 25 = 0 dan (r − 5)² = 0. Maka r = 5 dan θ = (20 − 10)/5 = 2.
r = 5 cm, θ = 2 rad. Kuadratik itu mempunyai punca berulang, jadi hanya satu jejari yang berfungsi. Semakan: luas ½ × 25 × 2 = 25. ✓
Ke mana selepas ini?
Uji seluruh modul dengan set latihan radian, lengkok dan sektor. Pelatih kerja tanpa kalkulator membantu pengiraan tepat.
Jika algebra di tengah soalan ini ialah tempat anda menjadi perlahan, guru kami boleh menyelesaikannya bersama anda dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.