Untuk mencari persilangan, tulis setiap garis dengan parameternya sendiri, samakan dua vektor kedudukan, kemudian banding pekali a dan b untuk menyelesaikan dua parameter. Penggantian semula mengesahkan titik itu.
Pelajaran ini memerlukan sesaran dan titik pembahagi.
Bagaimanakah menyelesaikan persilangan langkah demi langkah?
- Tulis setiap garis sebagai vektor kedudukan ditambah parameter darab arah: contohnya a + λ(…).
- Kembangkan supaya setiap ungkapan berbentuk (…)a + (…)b.
- Samakan pekali a dan b. Anda kini mempunyai dua persamaan.
- Selesaikan untuk λ dan μ, kemudian gantikan satu semula untuk mendapat titik.
- Semak dengan parameter yang satu lagi.
Contoh berlangkah
→OA = a, →OB = b. M ialah titik tengah OA dan N berada pada OB dengan ON = 2/3 b. Garis AN dan BM bertemu di X. Cari →OX.
Garis AN: →OX = a + λ(2/3 b − a) = (1 − λ)a + (2λ/3)b.
Garis BM: →OM = ½a, maka →OX = b + μ(½a − b) = (μ/2)a + (1 − μ)b.
Samakan pekali:
- a: 1 − λ = μ/2
- b: 2λ/3 = 1 − μ
Daripada yang pertama, μ = 2 − 2λ. Ke dalam yang kedua: 2λ/3 = 1 − 2 + 2λ = −1 + 2λ. Maka −4λ/3 = −1, memberi λ = 3/4 dan μ = 1/2.
Jawapan: →OX = (1 − 3/4)a + (2 × 3/4 ÷ 3)b = ¼a + ½b.
Semakan dengan μ = 1/2: (1/4)a + (1 − 1/2)b = ¼a + ½b. Sama, maka X betul.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menggunakan satu parameter untuk kedua-dua garis.
Kerja salah: Garis 1 memberi 1 − λ = λ/2, maka λ = 2/3. Kemudian 2λ/3 = 1 − λ memberi λ = 3/5. “Percanggahan, jadi garis tidak bertemu.”
Pelajar menggunakan λ dalam kedua-dua garis.
Garis itu sebenarnya bertemu, pada peringkat berbeza bagi setiap perjalanan. Dua garis memerlukan dua huruf, λ dan μ. Apabila penyelesaian kelihatan mustahil, semak dahulu bahawa setiap garis mempunyai parameternya sendiri.
Semak kendiri
1. Garis 1: r = (1, 0) + λ(1, 2). Garis 2: r = (7, 0) + μ(−1, 1). Cari persilangan.
Tunjukkan jawapan
x: 1 + λ = 7 − μ. y: 2λ = μ. Ganti: 1 + λ = 7 − 2λ, maka λ = 2, μ = 4. Semak garis 2: (7 − 4, 4) = (3, 4). Garis 1: (1 + 2, 4) = (3, 4).
(3, 4)
2. Tunjukkan r = (2, 1) + s(1, 1) dan r = (0, 3) + t(1, 1) tidak bertemu.
Tunjukkan jawapan
Arahnya sama, maka garis selari. Adakah (2, 1) pada garis kedua? Perlu 2 = t dan 1 = 3 + t, maka t = 2 dan t = −2. Tidak konsisten.
Selari dan berbeza, maka tiada persilangan.
3. →OA = a, →OB = b. P ialah titik tengah AB dan Q berada pada OB dengan OQ : QB = 1 : 2. Garis OP dan AQ bertemu di X. Cari →OX.
Tunjukkan jawapan
OP: →OX = λ(½a + ½b). AQ: →OX = (1 − μ)a + (μ/3)b.
a: λ/2 = 1 − μ. b: λ/2 = μ/3. Maka 1 − μ = μ/3, μ = 3/4, λ = 1/2.
→OX = ¼a + ¼b
Ke mana selepas ini?
Bahagian yang tinggal ialah membaca arah daripada persamaan, dalam terangkan arah dalam persamaan vektor. Kemudian uji keseluruhan modul dengan set latihan.
Jika kesilapan persamaan serentak menyebabkan anda hilang markah di sini, lihat pendekatan kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.