Dua belas soalan ini meliputi lima pelajaran dalam pembuktian vektor dua dimensi. Cuba setiap soalan di atas kertas dahulu, lukis lakaran, kemudian buka jawapan. Semua soalan adalah asli.
Kecuali dinyatakan, a dan b ialah vektor asas yang tidak selari dan O ialah asalan.
Soalan 1 hingga 4: sesaran
S1. →OA = 3a dan →OB = a + 2b. Cari →AB.
Tunjukkan jawapan
Hujung tolak permulaan: →AB = →OB − →OA = (a + 2b) − 3a = a − 3a + 2b.
→AB = −2a + 2b
S2. OABC ialah segi empat selari dengan →OA = 2p dan →OC = 3q. Cari →OB, →AC dan →BC.
Tunjukkan jawapan
→OB = →OA + →AB = 2p + 3q (kerana →AB = →OC). →AC = −→OA + →OC = −2p + 3q. →BC = −→OA = −2p (sisi bertentangan segi empat selari).
→OB = 2p + 3q, →AC = 3q − 2p, →BC = −2p
S3. Dalam segi tiga OAB, M ialah titik tengah AB. Cari →OM dan →BM dalam sebutan a dan b.
Tunjukkan jawapan
→AB = b − a. →OM = a + ½(b − a) = ½a + ½b. →BM = −½→AB = −½(b − a) = ½a − ½b.
→OM = ½a + ½b, →BM = ½a − ½b
S4. →OP = 2a − b dan →OQ = a + 3b. Cari →QP, dan nyatakan vektor yang separuh daripada →QP.
Tunjukkan jawapan
→QP = →OP − →OQ = (2a − b) − (a + 3b) = a − 4b. Separuhnya ialah ½a − 2b.
→QP = a − 4b, separuh ialah ½a − 2b
Soalan 5 hingga 7: titik pembahagi
S5. P berada pada AB dengan AP : PB = 1 : 4, dengan →OA = a dan →OB = b. Cari →OP.
Tunjukkan jawapan
Lima bahagian semuanya, maka →AP = 1/5(b − a). →OP = a + 1/5b − 1/5a = 4/5a + 1/5b.
→OP = 4/5 a + 1/5 b. Semakan: jumlah pekali ialah 1, dan a mempunyai bahagian lebih besar kerana P lebih dekat dengan A.
S6. A ialah (−2, 3) dan B ialah (8, −7). P berada pada AB dengan AP : PB = 2 : 3. Cari koordinat P.
Tunjukkan jawapan
→AB = (8 − (−2), −7 − 3) = (10, −10). →AP = 2/5 × (10, −10) = (4, −4). →OP = (−2, 3) + (4, −4) = (2, −1).
P = (2, −1). Semakan dengan 3/5a + 2/5b: x = −6/5 + 16/5 = 2, y = 9/5 − 14/5 = −1.
S7. P berada pada AB dan →OP = 1/3 a + 2/3 b. Cari AP : PB.
Tunjukkan jawapan
→OP = a + k(b − a) mempunyai pekali b sama dengan k, maka k = 2/3, iaitu →AP = 2/3 →AB. AP ialah 2 bahagian dan PB ialah 1 bahagian.
AP : PB = 2 : 1. Semakan: P lebih dekat dengan B dan mempunyai lebih banyak b, seperti yang dijangka.
Soalan 8 dan 9: segaris
S8. →OA = a + 2b, →OB = 3a + b, →OC = 7a − b. Tunjukkan A, B, C segaris dan cari AB : BC.
Tunjukkan jawapan
→AB = (3a + b) − (a + 2b) = 2a − b. →AC = (7a − b) − (a + 2b) = 6a − 3b = 3(2a − b) = 3→AB. Ia selari dan berkongsi titik A, maka A, B dan C segaris. →BC = →AC − →AB = 2→AB.
Segaris, AB : BC = 1 : 2
S9. →PQ = 2a − 3b dan →PR = 6a + kb. Diberi P, Q dan R segaris, cari k.
Tunjukkan jawapan
→PR mesti gandaan →PQ. Pekali a didarab 3 (2 kepada 6), maka →PR = 3→PQ = 6a − 9b.
k = −9
Soalan 10 dan 11: persilangan
S10. →OA = a, →OB = b. M ialah titik tengah OB dan N berada pada OA dengan ON = 2/3 a. Garis AM dan BN bertemu di X. Cari →OX.
Tunjukkan jawapan
AM: →OX = a + λ(½b − a) = (1 − λ)a + (λ/2)b. BN: →OX = b + μ(2/3a − b) = (2μ/3)a + (1 − μ)b.
Samakan: a: 1 − λ = 2μ/3. b: λ/2 = 1 − μ, maka λ = 2 − 2μ. Kemudian 1 − 2 + 2μ = 2μ/3, maka 4μ/3 = 1, μ = 3/4 dan λ = 1/2.
→OX = ½a + ¼b. Semakan dengan μ = 3/4 dalam BN: (2 × 3/4 ÷ 3)a + (1/4)b = ½a + ¼b.
S11. Garis 1: r = (0, 1) + λ(2, 1). Garis 2: r = (10, −2) + μ(−2, 1). Cari titik persilangan.
Tunjukkan jawapan
x: 2λ = 10 − 2μ. y: 1 + λ = −2 + μ, maka μ = 3 + λ. Ganti: 2λ = 10 − 6 − 2λ, maka 4λ = 4, λ = 1 dan μ = 4. Garis 1 pada λ = 1: (2, 2). Garis 2 pada μ = 4: (10 − 8, −2 + 4) = (2, 2).
(2, 2)
Soalan 12: arah
S12. Garis l: r = (−1, 4) + λ(6, −9). (a) Beri vektor arah yang lebih ringkas. (b) Adakah (5, −5) pada l? (c) Adakah (2, 0) pada l?
Tunjukkan jawapan
(a) (6, −9) = 3(2, −3), maka arah yang lebih ringkas ialah (2, −3).
(b) x: −1 + 6λ = 5, maka λ = 1. y: 4 − 9(1) = −5. Sepadan, maka (5, −5) berada pada l.
(c) x: −1 + 6λ = 2, maka λ = 1/2. y: 4 − 9/2 = −1/2, bukan 0. (2, 0) tidak berada pada l.
Jika jawapan anda salah
| Apa yang salah | Di mana untuk mengulang kaji |
|---|---|
| Kesilapan tanda, →AB ditulis a − b, laluan salah | Nyatakan sesaran menggunakan vektor asas |
| Pemberat pada vektor yang salah dalam soalan nisbah | Cari titik pembahagi pada tembereng |
| Hanya satu pekali dibanding, atau tiada titik sepunya atau kesimpulan | Tunjukkan titik segaris dengan hubungan skalar |
| Satu parameter untuk dua garis, atau silap menyelesaikan pasangan persamaan | Cari persilangan garis yang ditakrif oleh vektor |
| Titik diuji pada satu koordinat sahaja, atau kedudukan dan arah bercampur | Terangkan arah dalam persamaan vektor |
Catat setiap kesilapan dengan log kesilapan dan baris gilir uji semula dan uji semula beberapa hari kemudian. Kesilapan pecahan wajar dilatih dengan pelatih kerja tanpa kalkulator.
Jika jenis soalan yang sama terus tersilap selepas ulang kaji, lihat cara guru kami bekerja dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.