Untuk menunjukkan A, B dan C segaris, tunjukkan →AC ialah gandaan skalar bagi →AB. Oleh sebab kedua-dua sesaran bermula di A, ia terletak pada satu garis, maka A, B dan C juga begitu.
Pelajaran ini menggunakan kemahiran titik pembahagi daripada cari titik pembahagi pada tembereng.
Apakah yang menjadikan pembuktian segaris lengkap?
Pembuktian penuh mempunyai tiga bahagian:
- Tulis dua sesaran dari satu titik sepunya, contohnya →AB dan →AC.
- Tunjukkan satu ialah gandaan skalar yang lain, seperti →AC = 3→AB, dengan memadankan pekali a dan pekali b.
- Tulis kesimpulan: ia selari dan berkongsi titik A, maka A, B dan C segaris.
Contoh berlangkah
→OA = a + 2b, →OB = 3a + b dan →OC = 7a − b. Tunjukkan A, B dan C segaris, dan cari AB : BC.
→AB: →OB − →OA = (3a + b) − (a + 2b) = 2a − b.
→AC: →OC − →OA = (7a − b) − (a + 2b) = 6a − 3b.
Banding: 6a − 3b = 3(2a − b), maka →AC = 3→AB.
Kesimpulan: →AC dan →AB selari dan berkongsi titik A, maka A, B dan C segaris.
Nisbah: →BC = →AC − →AB = 3→AB − →AB = 2→AB. Oleh itu AB : BC = 1 : 2.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menyemak satu pekali sahaja.
Kerja salah: →AB = 2a − b dan →AC = 6a − 2b. “6 ÷ 2 = 3, jadi →AC = 3→AB.”
Pelajar membanding sebutan a dan mengabaikan sebutan b.
Mendarab seluruhnya: 3(2a − b) = 6a − 3b, bukan 6a − 2b. Pekali b tidak berada dalam nisbah yang sama, jadi vektor ini tidak selari. Sentiasa darab seluruh vektor dan banding kedua-dua pekali.
Semak kendiri
1. →AB = 2a + 3b dan →BC = 6a + 9b. Adakah A, B dan C segaris?
Tunjukkan jawapan
→BC = 3(2a + 3b) = 3→AB. Ia selari dan berkongsi B.
Ya, segaris.
2. →PQ = 3a − 2b dan →QR = 6a + kb. Cari k supaya P, Q, R segaris.
Tunjukkan jawapan
Pekali a berganda dua (3 kepada 6), maka →QR = 2→PQ = 6a − 4b. Semakan: 2 × (−2) = −4.
k = −4
3. →OA = a, →OB = b dan →OC = 3b − 2a. Tunjukkan A, B, C segaris.
Tunjukkan jawapan
→AB = b − a. →AC = →OC − →OA = 3b − 2a − a = 3b − 3a = 3(b − a).
→AC = 3→AB dengan A dikongsi, maka A, B, C segaris.
Ke mana selepas ini?
Segaris memberi anda syarat bagi sesuatu titik berada pada garis. Langkah seterusnya ialah mencari tempat dua garis sedemikian bersilang dalam cari persilangan garis yang ditakrif oleh vektor. Gambaran keseluruhan modul menunjukkan bagaimana semua bahagian bersambung.
Jika anda faham setiap langkah tetapi sukar menulis kesimpulan, lihat cara kami bekerja dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.