Kecerunan (gradient) sesuatu garis mengukur betapa curam garis itu naik atau turun: perubahan y dibahagi perubahan x. Ia muncul setiap kali soalan memberi dua titik dan bertanya tentang garis yang menyambungkannya, dan ia menjadi asas kepada setiap pelajaran lain dalam geometri koordinat.
Apakah yang dikatakan oleh rumus kecerunan?
Bagi dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), kecerunan ialah m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Pengangka ialah jarak anda bergerak ke atas atau ke bawah. Penyebut ialah jarak anda bergerak ke sisi.
Kecerunan positif bermaksud garis naik apabila anda bergerak ke kanan. Kecerunan negatif bermaksud garis turun. Kecerunan 0 ialah garis mengufuk, dan garis yang tiada nilai kecerunan langsung ialah garis mencancang.
Bagaimana mengiranya, langkah demi langkah?
- Labelkan titik. Panggil satu titik (x₁, y₁) dan satu lagi (x₂, y₂). Tidak kisah yang mana satu.
- Tolak nilai y mengikut susunan itu untuk mendapat kenaikan.
- Tolak nilai x mengikut susunan yang sama untuk mendapat larian.
- Bahagikan kenaikan dengan larian dan ringkaskan pecahan.
- Semak tanda dengan melakar kedua-dua titik: adakah garis naik atau turun apabila anda bergerak ke kanan?
Contoh berlangkah
Cari kecerunan garis yang melalui P(−3, 4) dan Q(5, −8).
Langkah 1, labelkan: (x₁, y₁) = (−3, 4) dan (x₂, y₂) = (5, −8).
Langkah 2, kenaikan: y₂ − y₁ = −8 − 4 = −12.
Langkah 3, larian: x₂ − x₁ = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Langkah 4, bahagi: m = −12/8 = −3/2.
Langkah 5, semak makna: P berada di kiri dan tinggi, Q berada di kanan dan rendah. Garis turun apabila bergerak ke kanan, jadi kecerunan negatif adalah betul.
Semakan bebas: tukar label. Kenaikan menjadi 4 − (−8) = 12 dan larian menjadi −3 − 5 = −8, memberi 12/(−8) = −3/2. Jawapan yang sama.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah tersilap mengendalikan tanda tolak pada larian.
Penyelesaian yang salah: larian = 5 − 3 = 2, jadi m = −12/2 = −6.
Pelajar mengabaikan tanda negatif pada nilai x iaitu −3 dan menulis 3.
Menolak nombor negatif bermaksud menambah: 5 − (−3) = 8, bukan 2. Letakkan kurungan pada setiap koordinat negatif sebelum menolak, dan kesilapan ini hilang. Lakaran juga membantu, kerana kecerunan −6 akan jauh lebih curam daripada yang ditunjukkan oleh gambar.
Kesilapan kedua ialah mencampurkan susunan, contohnya −8 − 4 pada pengangka tetapi 3 − 5 pada penyebut. Pastikan kedua-dua penolakan mengikut arah yang sama.
Semak diri anda
Cuba tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari kecerunan garis melalui (1, 2) dan (4, 11).
Lihat jawapan
Kenaikan = 11 − 2 = 9. Larian = 4 − 1 = 3. Kecerunan = 9/3 = 3.
2. Cari kecerunan garis melalui (−2, 5) dan (6, 1).
Lihat jawapan
Kenaikan = 1 − 5 = −4. Larian = 6 − (−2) = 8. Kecerunan = −4/8 = −1/2.
3. Apakah yang berlaku apabila anda cuba mencari kecerunan garis melalui (3, −1) dan (3, 7)?
Lihat jawapan
Larian = 3 − 3 = 0, jadi anda perlu membahagi dengan 0. Kecerunan tidak tertakrif: garis itu mencancang, dengan persamaan x = 3.
Langkah seterusnya
Setelah kecerunan terasa mantap, teruskan dengan mencari titik tengah dan panjang tembereng, kemudian gunakan kecerunan untuk menulis persamaan garis lurus. Latihan pengiraan tanpa kalkulator berguna untuk melatih pemudahan pecahan, dan set latihan geometri koordinat mencampurkan semua kemahiran.
Sesetengah pelajar faham rumus tetapi masih kehilangan markah pada tanda apabila koordinat menjadi negatif. Itulah corak yang dicari oleh guru kami dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu.